中小学1对1课外辅导专家
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课
使用教具
讲义、纸、笔
教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法
教学重点和难点
重点：运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点：二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题
教学流程及授课详案
【知识讲解】
空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。

异面直线所成角的范围：o
o
900≤<α；
注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。

有的还可以
通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。

（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o
0；
②线面垂直：线面所成的角为o
90；
③斜线与平面所成的角：范围o
o
900<<α；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。

（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。

方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
注意：还可以用射影法：S
S '
cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封
闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。

一般用于解选择、填空题。

时 间 分
配
及 备 注
【题海拾贝】
例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
EF平面P AD；
（1）求证：//
（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，
EF平面PCD？
直线
例2已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，
F为CD的中点.
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
例3如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （Ⅰ）证明：AC//平面PMD ；
（Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。

例4已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=
，
2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。

（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --的大小。

例5（2007年4月济南市）如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的
平面互相垂直且DE=2，ED//AF 且∠DAF =90°。

（1）求BD 和面BEF 所成的角的余弦；
（2）线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF
的比值；若不存在，说明理由。

例6（四川省成都市2007届高中毕业班第三次诊断性检测）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC
是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=
的菱形，M 为PB 的中点.
(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ； (Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.
【课堂练习】
1.（2007武汉3月）如图所示，四棱锥P —ABCD 中，
AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。

(1)求证：BM ∥平面PAD ；
(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

2. 如图所示，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。

（1）试确定PB
P A 1的值，使得PC ⊥AB ；
（2）若3
21=PB
P A ，求二面角P —AB —C 的大小；
（3）在（2）条件下，求C 1到平面PAC 的距离。

3. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （I ）求证：A 1C //平面AB 1D ；
（II）求二面角B—AB1—D的大小；
（III）求点c到平面AB1D的距离.
【课后总结】
家长签名：。