立体几何空间角习题
【基础】空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
一、选择填空题
1．（1）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则
A 1
B 与A
C 1所成的角为（ ）
（A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200
（2）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．
1
3
B
C
D ．
23
（3）Rt ABC ∆的斜边在平面α内，顶点A 在α外，BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠，则
BA C '∠的范围是________________。
（4）从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线，A 为垂足，B 为斜足，射线BC α⊂，这时
PBC ∠为钝角，设,PBC x ABC y ∠=∠=，则（ ）
A.x y >
B.x y =
C.x y <
D.,x y 的大小关系不确定
（5）相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的 射影所成的角是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线
段与平面α所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 。
（7）PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB
所成角的余弦值是（ ）
A
B
A 1
1
A ．
2
1
B ．22
C ．36
D ．33
（8）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，
,M N 分别是1,A A AB 上的点，若0190NMC ∠=，
那么1NMB ∠的大小是（ ）
A.大于0
90 B.小于0
90 C. 0
90 D.不能确定
（9）已知SO ABC ⊥∆所在平面于O 点，且S 到,,A B C 三点等距离，若ABC ∆中，有
cos cos sin sin A B A B >，则O 点（ ）
A.必在ABC ∆的某一边上
B.必在ABC ∆外部（不含边界）
C.必在ABC ∆内部（不含边界）
D.以上都不对
（10）如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则（ ） A ．1sin sin 2212≥+θθ B ．1sin sin 2212≤+θθ
C ．1sin sin 2212>+θθ
D ．1sin sin 2212<+θθ
（11）如图，l A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，A B ，到l 的距离分别是a 和
b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，
若a b >，则（ ） A ．m n θϕ>>，
B ．m n θϕ><，
C ．m n θϕ<<，
D ．βm n θϕ<>，
（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。
A
B C
D
1A 1
B 1
C 1
D M N
A B a
b
l α
二、解答题
1.已知直三棱柱111,,ABC A B C AB AC F -=为1BB 上一点，12,BF BC a FB a ===。
（1）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A D 、的任意一点，证明：1EF FC ⊥； （2）若113A B a =，求1FC 与平面11AA B B 所成角的正弦值。
2．如图正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为a ，
侧棱长为
2
a ，若经过对角线1AB 且与对角线1BC 平行的平\面交上底面于1DB 。
（1）试确定D 点的位置，并证明你的结论；（2）求平面1AB D 与侧面1AB 所成的角及平面1AB D 与底面所成的角；（3）求1A 到平面
1AB D 的距离。
A
B
F
C
E
1
A
1
B
1
C
D
G
F E D C 1
B 1
A 1
C
B
A
3.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
90BAD FAB ∠=∠=，12BC AD
∥，12
BE AF ∥。
（Ⅰ）证明：C D F E ，，，四点共面；
（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小。
4.如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC, PC 的中点。
（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ；
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
6
，求二面角E —AF —C 的余弦值。
F
A
B C
D E
课后答案：
1．（1）C ； （2）C ； （3）0
(90,180]； （4）C ； （5）D ； （6）略； （7）D ； （8）C ； （9）B ； （10）B ； （11）D ；
（12）解：如图中，截面ACD 1和截面ACB 1均符
合题意要求，这样的截面共有8个。
二、解答题
1.（1）转证线面垂直；（2
）sin 15
θ=
2.（1）D 为11A C 的中点；（2
）0
45；（3。
3．解：（Ⅰ）延长DC 交AB 的延长线于点G ，由1
2
BC AD
∥得 1
2
GB GC BC GA GD AD ===，延长FE 交AB 的延长线于点G '， 同理可得12G E G B BE G F G A AF ''===''．故G B GB
G A GA
'=
'，即G '与G 重合， 因此直线CD EF ，相交于点G ，即C D F E ，，，四点共面。
（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，2AD =．取AE 中点M ，则BM AE ⊥，又由已知得，
AD ⊥平面ABEF ，故AD BM ⊥，BM 与平面ADE 内两相交直线AD AE ，都垂直，
所以BM ⊥平面ADE ，作MN DE ⊥，垂足为N ，连结BN ，由三垂线定理知BN ED ⊥，
BNM ∠为二面角A ED B --
的平面角，122AD AE BM MN DE ⨯
=
==， 故tan BM BNM MN ∠
=
=，所以二面角A DE B --的大小为arctan
1
4．解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形。
因E为BC 的中点，所以AE⊥BC。
又BC∥AD，因此AE⊥AD。
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE。
而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD 且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD。
（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的
角，在Rt△EAH中，AE=3，所以当AH最短时，
∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，
此时tan ∠EHA=
36
,
AE
AH
==因此AH=2，
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=
3
2
，AO=AE·cos30°=
3
2
,又F是PC的中点，在Rt△ASO中，
SO=AO·sin45°=32
4
，又22
3830
,
494
SE EO SO
=+=+=
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
32
15
4,
30
SO
SE
==即所求二面角的余弦值为
15。