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考点26 基本不等式
一、选择题
1．（2015·四川高考文科·T9)设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则xy 的最大值为（ ）
(A)
252 (B) 492
(C) 12 (D)14 【解题指南】利用基本不等式解题
【解析】选A 由条件得：()25y x ≤-。

于是，()2
52525222x x xy x x +-⎛⎫≤-≤= ⎪
⎝⎭。

xy 当且仅当5,52x y =
=时取到最大值252。

经验证，5
,52
x y ==在可行域内。

故选A 。

2．.(2015·四川高考理科·T9)如果函数f(x)=21(m-2)x 2
+(n-8)x+1(m ≥0,n ≥0)在区间[21,2]上单调递减,
那么mn 的最大值为 ( ) A.16
B.18
C.25
D.
2
81
【解析】选 B.)(x f '=(m-2)x +n-8=0得28---=m n x .当m>2时,抛物线的对称轴为2
8
---=m n x ,据题意,2
8
---
m n ≥2,即2m+n ≤12. 因为62
22≤+≤n
m mn ,所以m ·
n ≤18,由2m+n=12且2m=n 得m=3,n=6.当m<2时,抛物线开口向下,根据题意得:-2128≤--m n ,即2n+m ≤18,因为92
22≤+≤m
n mn ,所以m ·n ≤281,由2n+m=18且2n=m 得
m=9(舍).要使得mn 取最大值,应有2n+m=18(m<2,n>8),所以m ·n=(18-2n)·n<(18-2×8)×8=16,所以最大值为18.
3.(2015·福建高考文科·T5)
若直线
+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等 于 ( ) A.2
B.3
C.4
D.5
【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.
【解析】选C.因为直线过点(1,1),所以
11
1=+b
a ，所以b
a
a b b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以
4222=⨯+≥++
b
a
a b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立.
4. (2015·陕西高考理科·T9) 设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，(
)2
a b
q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 ( )
A.q=r<p
B.q=r>p
C.p=r<q
D.p=r>q
【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可.
【解析】选C.由条件可得p f =),ln (ln 2
1
ln 21)ln(2
1b a ab ab +==
= 1
(()())2
r f a f b =+,)ln (ln 21p b a =+=
由不等式的性质在0<a<b 的条件下，ab b
a >+2
，且函数f(x)=lnx 是增函数，
所以p f =<()2
a b
q f +=，故选项C 正确.
5. (2015·陕西高考文科·T10)设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，(
)2
a b
q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 ( )
A.q=r<p
B.q=r>p
C.p=r<q
D.p=r>q
【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可.
【解析】选C.由条件可得p f =),ln (ln 2
1
ln 21)ln(2
1
b a ab ab +==
= 1
(()())2
r f a f b =+,)ln (ln 21p b a =+=
由不等式的性质在0<a<b 的条件下，ab b
a >+2
，且函数f(x)=lnx 是增函数，
所以p f =<()2
a b
q f +=，故选项C 正确.
二、填空题
6.(2015·浙江高考文科·T12)已知函数f(x)=2,1,6
6,1,
x x x x x ⎧≤⎪
⎨+->⎪⎩
则f(f(-2))= ,f(x)的最小值是 .
【解题指南】利用分段函数求值,利用基本不等式求最值.
【解析】f(-2)=(-2)2=4,所以
f(f(-2))=f(4)=4+
-6=-.当x ≤1时,f(x)≥0,当x>1时,f(x)≥
2-6,当
x=,即
x=时取到等号,因为
2-6<0,所以函数的最小值为
2-6.
答案: 1
2
-
6 7.(2015·天津高考文科·T12)已知a>0,b>0,ab=8,则当a 的值为 时,log 2a ·log 2(2b)取得最大值.
【解析】()()()()22
222222
log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭
当a=2b 时取等号,结合a>0,b>0,ab=8,可得a=4,b=2. 答案:4
8.(2015·山东高考文科·T14)定义运算“⊗”22
y x y x xy
-⊗=:（ x,y ∈R,xy ≠0),当x>0,y>0
时,x ⊗y+(2y)⊗x 的最小值为 .
【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法.
【解析】x>0,y>0时, 22224(2)2x y y x x y y x xy yx --⊗+⊗=+22
22x y xy
+=
≥
=
所以所求的最小值为.
答案：.
9．（2015·重庆高考文科·Ｔ14）设,0,5,a b a b >+=
则
_________.
【解题指南】因为()()13a b +++
为定值，利用不等式2
x y
+≤
.
【解析】因为,0,5,a b a b >+=所以()()139a b +++=
由不等式2
x y
+≤
22
≤=，
所以
答案：
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