圆压轴题八大模型题（二） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题， 往往位于许多省市中考题中的倒数第二题

的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化

与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点， 常用

技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型 2 切割线互垂

在 Rt△ABC 中，点 E 是斜边 AB 上一点，以 EB 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 D，与 BC相交于点 F.

C C C D F D F D F

A E O B A E O B A E O B

图(1) 图(2) 图(3) (1)AD=20,AE=10,求 r; (3)AC=32， AE=10，求 r. (5)DB2=BC BE; (2)AB=40,BC=24,求 r. (4) ∠ ABD=∠CBD. (6)AD2=AE AB.

【分析】 (1)在 Rt△ADO 中， (10+r) 2=r2+202,得 r=15.

(2)由 DO∥ BC,得 DO AO ,∴ r 40

r 得： r=15.

BC AB 24 40

(3)在 Rt△ADO 中， AD= (10 r ) 2 r 2 ， DO=r， AO=10+r，

由 DO∥ BC， AD AO 得， r=15.

AC AB (4)连结 DO,DO=BO,∠ ODB=∠ OBD;由 DO∥BC得∠ CBD=∠ ODB,∴∠ ABD=∠ CBD. (5)由 Rt△BCD∽ Rt△BDE 得 BD2=BC BE.

(6)由△ ADE∽△ ABD 得 AD2=AE AB.

C C C

D F D D F F G A B A E O B A E O B E G O

图 (4) 图(5) 图 (6) (7)△ DCF≌△ DGE; (10)DC=12,CF=6, (11)DC=12,CF=6,求 CO (8)DF2=CF BE; 求 r 和 BF. 上任意线段的长 .

(9)AG:AC=1:2,BD=10.求 r. 【分析】 (7)由∠ EBD=∠FBD 得 DE=DF,∴ DE=DF,又∠ DFC=∠ DEG,∠C=∠DGE=90°得△ DCF≌△ DGE. CF DE ,且 DE=DF,∴ DF2=CF BE. (8)由△ CDF∽△ DBE得

BE DF

(9)由△ ADG∽△ ABC 得 AG:AC=DG:BC=1:2,设 DG=k,则 DC=DG=k,BC=2k,DB= 5 k=10,∴ k=2 5 ,

∴ BG=BC=2k=4 5 , 由 Rt △ DBG ∽ Rt △ EBD 得 DB2=GB EB, ∴ 102=4 5 EB, ∴

5 5 EB=5 5 ,r=.

2 (10)∠ C=∠ CFG=∠ CDG=90°得矩形 DGFC,∴ DG=CF=6,DC=GF=GE=12,

C 2 2 2 2 2 2 . ∴在 Rt△ GEO中， GO +EG =EO ,∴ (r-6) +12 =r

∴r==15-6=9，由中位线定理得 BF=2GO=18. D F

(11)如图，在 Rt△ DCO 中， CO= 12

2 152

= 3 41 ， GO=15-6=9,

P G B A

O 由 D0∥ CB 得 , CF CP 6 2 3 9 41 E ,∴ PO= CO= .

GO OP 9 3 5 5 同理可得图中 CO 上其它线段的长度 . 图 a

【典例】 （2018 ·四川成都）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A， D 的⊙ O 分别交 AB， AC于点 E， F，连接 OF 交 AD 于点 G.

（1）求证： BC是⊙ O 的切线；

（2）设 AB＝ x， AF＝ y，试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长；

（ 3）若 BE＝ 8， sinB＝ 5 13 ，求 DG 的长 . A

O G 【分析】（1 ）连接 OD，由 AD 为角平分线得到一

E F

对角相等， 再由等边对等角得到一对角相等， 等量

B C D 代换得到内错角相等，进而得到 OD 与 AC 平行，

（图 2-1）

得到 OD 与 BC 垂直，即可得证；

（ 2）连接 DF，由（ 1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得 到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD； （3）连接 EF，设圆的半径为 r，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出 r 的值，由直径 所对的圆周角为直角，得到 EF 与 BC 平行，得到 sin∠ AEF＝ sinB，进而求出 DG 的长即可．

解：（ 1）证明：如图，连接 OD，

∵AD 为 ∠ BAC的角平分线， ∴ ∠BAD＝ ∠ CAD， ∵OA＝OD， ∴ ∠ ODA＝ ∠ OAD， ∴∠ ODA＝ ∠ CAD，∴ OD∥ AC， ∵∠ C＝ 90 °， ∴ ∠ ODC＝ 90 °， ∴OD⊥ BC， 图 b

∴BC 为圆 O 的切线；

（ 2）连接 DF，由（ 1）知 BC为⊙ O 的切线， ∴∠ FDC＝∠ DAF，∴∠ CDA＝∠ CFD，

∴∠ AFD＝∠ ADB，∵∠ BAD＝∠ DAF， ∴△ ABD∽△ ADF，∴ AB

AD ，

AD AF

即， AD2＝ AB·AF＝ xy，则 AD＝ xy

（3）连接 EF，在 Rt△ BOD中， sinB＝ OD 5 ，

r 5 OB 13

设圆的半径为 r，可得 ，

r 8 13

解得： r＝ 5， ∴ AE＝ 10， AB＝ 18，

∵AE 是直径， ∴ ∠ AFE＝ ∠C＝90 °， ∴ EF∥ BC， ∴∠ AEF＝ ∠ B， ∴sin∠ AEF＝ AF

5 ，

AE 13 5 50 ， ∴AF＝AE?sin∠ AEF＝ 10 ×

13 13

AG AF 50 10 13

∵AF∥OD， ∴ OD 5 13 ，即 DG＝ 13 DG

AD， 23

∵AD＝ AB gAF 18 50 30 13

，

13 13

则 DG＝ 13 30 13 30 13 .

23 13 23

【点拨】 利用直角三角形、 相似三角形的边与边之间的和差倍分关系， 勾股定理的关系， 比例线

段的关系等设元建方程求线段的长度； 因此善于分解图形， 由线与角之间关系， 构建基本图形模型，如母子型相似， 共边角相似， 8 字型相似， A 字型相似等。 当出现求线段的一部分，还要考虑用局部占总体的比例来求解。

【变式运用】 1.（2018 ⊙O 的弦 泸州）如图， 已知 DE 交 AB 于点 F，且 AB，CD 是⊙ O 的直径， 过点 DF＝ EF． C作⊙ O 的切线交 AB 的延长线于点 P， （ 1）求证： CO2＝ OF?OP； （2）连接 EB交 CD于点 G，过点 G 作 GH⊥ AB 于点 H，若 PC＝ 4 ， PB＝ 4，求 GH 的长．

解：（ 1）证明： ∵ PC是 ⊙ O 的切线， ∴OC⊥ PC， ∴∠ PCO＝90 °， ∵AB 是直径， EF＝ FD， ∴AB⊥ ED， ∴ ∠ OFD＝ ∠OCP＝90 °， （图 2-2） ∵∠ FOD＝ ∠ COP， ∴ △ OFD∽ △OCP，

∴ ＝ ，∵ OD＝ OC，

∴OC2＝ OF?OP． （2）解：如图作 CM⊥OP 于 M，连接 EC、 EO．设 OC＝ OB＝ r．

2 2 2 ， 在 Rt△ POC中， ∵ PC＋ OC ＝ PO

∴（ 4 ） 2＋r 2＝（ r＋ 4） 2， ∴r ＝2，

∵CM＝ ＝ ，

∵DC 是直径， ∴∠ CEF＝ ∠ EFM＝ ∠ CMF＝90 °， ∴四边形 EFMC是矩形， ∴ EF＝ CM＝， 在 Rt△ OEF中， OF＝ ＝ ， ∴EC＝ 2OF＝ ， ∵ EC∥ OB， ∴ ＝ ＝ ，∵ GH∥ CM，

∴ ＝ ＝ ， ∴ GH＝ ． 2.（2018 ·云南昆明）如图， AB 是⊙ O 的直径， ED 切⊙ O 于点平分∠ BAD，连接 BF．

（1）求证： AD⊥ ED；

图 c C， AD 交⊙ O 于点 F，∠ AC （2）若 CD＝4 ，AF＝2，求⊙ O 的半径． 解：（ 1）证明：连接 OC，如图，∵ AC 平分∠ BAD，

∴∠ 1＝∠ 2，∵ OA＝ OC，∴∠ 1＝∠ 3， ∴∠ 2＝∠ 3，∴ OC∥ AD， （图 2-3）