圆压轴题八大模型题（三）泸州市七中佳德学校 易建洪引言： 与圆有关的证明与计算的综合解答题， 往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点， 常用 技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型 3 双切线组合 径在直角边——直径在直角三角形的直角边上 .Rt △PBC 中，∠ ABC ＝90°，Rt △PBC 的直角边 PB 上有一点 A ，以线段 AB 为直径的⊙ O 与斜 边相切于点 D.【分析】 (1) 由 PC= 62 82 10 ,△ POD ∽△ PCB 得 DO PO ，∴ r 8 r ，∴ r=3. BC PC 6102 2 2(2) 设 BC=CD=，x 在 Rt △ PBC 中， 82+x 2=(4+x) 2, 得 BC=x=6. (3) 在 Rt △PDO 中， 42+r 2=(2+r) 2,解得 r=3.2(4) 由△ PDA ∽△ PBD 得： PD=PAPB.PD PA AD1(5)由△ PDA ∽△ PBD 得 tan ， PB=8,PB PD DB2∴PD=4,PA=2,AB=6. 设 AD=x,DB=2x,65在 Rt △ ADB 中， x 2+(2x) 2=62, ∴AD=x= 6 5 .5(6) 由∠ DEC=∠ADB=90°得 OC ∥ AD.(7) 由 AB=2,则 OB=1,又 BC= 2OC= 1 ( 2)23, 在 Rt △OBC 中，BE ⊥OC ，得 OE= 33,由中3PA AD 1位线定理得： AD=2OE=2 3 .DB=2 6 ,由△ PDA ∽△ PBD 得： ,设PA=x 则, PD= 2x,( 2) PD ＝4, PB ＝8, 求 BC 的长 . ( 3) PD ＝4, PA ＝2, 求⊙O 的半径 r. 1( 5) PB ＝8，tan ＝ ， (7)若 AB ＝2, BC ＝ , 求 PA 和 AD. 求 AD 、 PD 、PA 的长 . CC3 3 PD DB 2在 Rt△PDO中， ( 2 x)2+1=(x+1)2得 x=2,∴PA=2,PD=2 2.PO ⊥AB ．∵BC 是直径，∴∠ CAB ＝90°，∴AC ⊥AB ，∴ AC ∥PO ； （2）解：连结 OA 、 DF ，如图，∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线， A 、B 是切点， ∴∠ OAQ ＝∠ PBQ ＝ 90°．在 Rt △OAQ 中， OA ＝ OC ＝ 3，∴ OQ ＝5． 由 QA 2＋OA 2＝OQ 2，得 QA ＝ 4．(8) 由 AD ∥ OC 得 PA PD 2 , 设 AO=DO=BO=m ，AO DC 1 则 PA=2m ，P0=3m ，PD=2 2m ，由△ PDA ∽△ PBD得PA AD PD DB1,且 AD+BD=2+2 2∴m= 3 ,PB=3 3 ,PD=2 6 ,PC=3 6 ,BC=33 ,1S △PBC= BC PB=13.5.AD ＋ BD ＝2＋22 求 S △ AB C.【典例】（2018·四川乐山）如图， P 是⊙O 外的一点， PA 、PB 是⊙ O 的两条切线， A 、B 是切点， PO 交 AB 于点 F ，延长 BO 交⊙ O 于点 C ，交 PA 的延长交于点 Q ，连结 AC ．2）设 D 为 PB 的中点， QD 交 AB 于点 E ，若⊙ O 的半径为 3，CQ ＝2，求 的值．【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所 对的圆周角是直角得同位角相等。

（ 2）在 Rt △ OQA 中，由勾股定理得 QA ＝ 4，在 Rt △ PBQ 中， 由勾股定理得 PA ＝＝ PB ＝6，因此 FD ＝3，BF65图 3-1FE ： EA ＝ 3： 4，因此设 AE ＝4t, 则 EF ＝ 3t ， BF ＝ 10t ，所以 AE ： BE ＝ 2： 5.1）证明：∵ PA 、 PB 是⊙ O 的两条切线， A 、 B 是切点，∴ PA ＝ PB ，且 PO 平分∠ BPA ， P在 Rt △PBQ 中， PA ＝PB ，QB ＝OQ ＋OB ＝8，由 QB 2＋PB 2＝PQ 2， 得 82＋ PB 2＝（ PB ＋4）2，解得 PB ＝6，∴ PA ＝PB ＝6． ∵OP ⊥ AB ，∴ BF ＝AF ＝ AB ．又∵ D 为 PB 的中点，∴ DF ∥AP ，DF ＝ PA ＝3，∴△ DFE ∽△ QEA ， ∴ ＝ ＝ ，设 AE ＝4t ，FE ＝3t ，则 AF ＝AE ＋FE ＝ 7t ， ∴BE ＝BF ＋FE ＝AF ＋FE ＝7t ＋3t ＝10t ，∴ ＝ ＝ ．【点拨】由切线长定理引出的双母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及 相似三角形，常涉及用到等腰“三线合一” 、“射影定理” 、中位线定理、勾股定理，平行线 分线段成比例， 切割线定理等的综合运用。

因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基 本图形模型，当出现量与量之间有多重联系的时候，常考虑设元建方程求解问题。

变式运用】1.（2016 青海西宁）如图， D 为⊙ O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠ CDA= ∠CBD ． （ 1 ）求证： CD 是⊙ O 的切线；（2）过点 B 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点 E ， BC=6 ， ．求 BE 的长．（ 12 分） 【分析】（1）连 OD ，OE ，根据圆周角定理得到∠ ADO + ∠1=90°，而∠CDA=∠CBD ，∠CBD=∠1，于是∠ CDA+ ∠ ADO=90 °；（ 2 ）根据已知条件得到△ CDA ∽△ CBD 由相似三角形的性质得到 ，求得 CD=4 ，由切线的性质得到BE=DE ， BE ⊥ BC 根据勾股定理列方程即可得到结论． （1）证明：连结 OD ，∵ OB=OD ，∴∠ OBD= ∠ BDO ， ∵∠ CDA= ∠ CBD ，∴∠ CDA= ∠ODB ，又∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90 °，∴∠ ADO +∠ODB=90 °，∴∠ ADO +∠CDA=90 °， 即∠ CDO=90 °，∴ OD ⊥CD ，∵ OD 是⊙ O 半径，∴ CD 是⊙ O 的切线 （2）解：∵∠ C=∠C ，∠ CDA= ∠CBDCD AD∴△CDA ∽△ CBD ∴BC BD∴CD=4 ，∵ CE ， BE 是⊙ O 的切线 ∴BE=DE ， BE ⊥ BC2 2 2 2 2AD 2BD 3，BC=6 ，∴BE 2+BC2=EC 2，即BE2+62=（4+BE）解得：BE= 5．2.（2018·湖北武汉）如图， PA是⊙ O的切线， A是切点， PC， PC交 AB于点 E，且 PA＝ PB.（1）求证： PB是⊙ O的切线 .PE（2）若∠ APC＝ 3∠BPC，求的值 .CE（1）证明：分别连接 OP， OB.AP BP,在△ OAP和△ OBP中，OA OB,∴△ OAP≌△ OBP.OP OP.∴∠ OAP=∠OBP,∵ PA是⊙ O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，∴PB是⊙ O的切线 .（2）连接 BC，设 OP交 AB 于点 F，∵AC 是⊙ O的直径，∴∠ ABC=90°.∵PA， PB是⊙ O的切线，∴PO垂直平分 AB， PO平分∠ APB，∴BC∥ OP，∴∠ OPC=∠PCB，∵∠ APC=3∠ BPC，∴∠ OPC=∠CPB，∴∠ PCB=∠CPB，∴ BC=BP.设 OF=t, 则 BC=PB=2t，由△ PBF∽△ POB，得 PB2=PF· PO，2 1 17 即（ 2t ）2=PF（PF+t）解得 PF= t ，（取正值）2∵△ PFE∽△ CBE，PECEPFBC17 143. （2017 泸州）如图，⊙O 与 Rt△ABC的直角边 AC和斜边 AB 分别相切于点C、 D，与边PBC相交于点 F，OA 与 CD 相交于点 E，连接 FE并延长交AC边于点 G．（1）求证： DF∥ AO；（2）若 AC＝ 6，AB＝ 10，求 CG的长．解：（ 1）证明：连接 OD．∵AB与⊙O 相切与点 D，又 AC与⊙ O相切与点，图3-∴AC＝AD，∵OC＝OD，∴ OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直径，∴∠ CDF＝90°，∴ DF⊥ CD，∴DF∥ AO．2）过点作 EM⊥ OC于 M，∵AC ＝ 6， AB ＝10，∴ BC ＝ AB 2 AC 2 ＝8， ∴AD ＝AC ＝6，∴ BD ＝ AB －AD ＝ 4，21 ∵BD 2＝BF?BC ，∴ BF＝2，∴ CF＝BC －BF ＝ 6．OC ＝ CF＝3， 2EM OM OE 1 AC OC OA 536， 18 OM ＝， EMFM ＝OF ＋OM ＝55 5EM FM3.6 3CGFC65，5∴CG ＝ EM ＝ 2．3∴OA ＝ AC 2OC 2＝3 5 ，∵ OC 2＝ OE?OA ，OE ＝3 55图d∵ EM ∥ AC ，。