圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型 1弧中点的运用⌒在⊙ O 中，点 C 是 AD的中点， CE⊥ AB 于点 E.CDPFA B（1）在图 1 中，你会发现这些结论吗？ E O①AP＝CP＝ FP；②CH＝ AD；H②AC2＝AP· AD＝ CF· CB＝ AE·AB.（2）在图 2 中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？（图 1）【典例】（2018 ·湖南永州）如图，线段AB 为⊙ O 的直径，点C，E 在⊙ O 上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD相交于点F．（1）求证： CF＝BF；（2）若 cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M ，使 BM＝ 4，⊙ O 的半径为 6．求证：直线 CM 是⊙ O 的切线．【变式运用】1.（2018 ·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦， D 是 AC的中点， DE⊥AB 于点 E且 DE交 AC于点 F，DB交 AC于点 G，若＝，（图 1-2）则 ＝．2.（ 2018 ·泸州） 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别平分∠ BAD 和∠ ADC 。

( 1) 求证： AE ⊥DE ； ( 2) 设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F ，连接 DF 交 AE 于 G ，已知 CD ＝ 5， AE ＝ 8，求FG值。

AFADGFBEC图9（图 1-3）?3. （ 2017·泸州）如图，△ ABC 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的直径， C 是AD 的中点，弦 CE ⊥ AB于点 H ，连结 AD ，分别交 CE 、 BC 于点 P 、 Q ，连结 BD 。

(1)求证： P 是线段 AQ 的中点；(2)若⊙ O 的半径为 5， AQ ＝，求弦 CE 的长。

4．（ 2016?泸州）如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的直径， AC 和 BD 相交于点 E ，且 DC 2＝ CE?CA ．（ 1）求证： BC ＝ CD ；（ 2）分别延长 AB ， DC 交于点 P ，过点 A 作 AF ⊥ CD 交 CD 的延长线于点 F ，若 PB ＝ OB ，CD ＝，求 DF 的长．5．（ 2015?泸州）如图，△ ABC 内接于⊙ O，AB＝ AC ，BD 为⊙ O 的弦，且 AB ∥ CD ，过点 A 作⊙O 的切线 AE 与 DC 的延长线交于点 E， AD 与 BC 交于点 F ．（1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形；（2）若 AE＝ 6，CD ＝ 5，求 OF 的长．6.如图， AB是⊙ O的直径， C、P 是弧 AB上的两点， AB＝13，AC＝5.(1)如图①，若 P 是弧 AB的中点，求 PA的长；(2)如图②，若 P 是弧 BC的中点，求 PA的长.7.如图，△ ABC内接于⊙ O，且 AB为⊙ O的直径．∠ ACB的平分线交⊙ O于点 D，过点 D作⊙ O 的切线 PD交 CA的延长线于点P，过点 A 作 AE⊥ CD于点 E，过点 B 作 BF⊥CD于点 F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC＝ 6，BC＝ 8，求线段PD的长．圆压轴题八大模型题（二）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点， 常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型 2 切割线互垂在 Rt △ABC 中，点 E 是斜边 AB 上一点，以 EB 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 D ，与 BC 相交于点F.CCCDFDFDFAEOBAEOBAE OB图(1)图(2)图(3)2(1)AD=20,AE=10, 求 r;(3)AC=32 ， AE=10，求 r. (5)DB =BCBE;2(2)AB=40,BC=24, 求 r.(4) ∠ ABD=∠ CBD.(6)AD =AEAB.【典例】（2018 ·四川成都）如图，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ，O 为 AB 上一点，经过点 A ， D 的⊙ O 分别交 AB ， AC 于点 E ，F ，连接 OF 交 AD 于点 G.（1）求证： BC 是⊙ O 的切线；A（2）设 AB ＝ x ， AF ＝ y ，试用含 x, y 的代数式表示线段AD 的长；O（ 3）若 BE ＝ 8，sinB ＝ 513，求 DG 的长 .GEFBCD【变式运用】1.（2018 泸州）如图，已知 AB ，CD 是⊙ O 的直径，过点C 作⊙ O 的切线交AB 的延长线于点P，⊙O 的弦 DE 交 AB 于点 F ，且 DF ＝ EF．（1）求证： CO2＝ OF?OP；（2）连接 EB 交 CD于点 G，过点 G 作 GH⊥ AB 于点 H，若 PC＝4，PB＝4，求GH的长．2.（ 2018·云南昆明）如图， AB 是⊙ O 的直径， ED 切⊙ O 于点 C，AD 交⊙ O 于点 F，∠ AC 平分∠ BAD，连接 BF．（1）求证： AD⊥ ED；（2）若 CD＝4， AF＝ 2，求⊙ O 的半径．3.（ 2018·江苏苏州）如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上， AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D，CE垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙ O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC．（1）求证： CD＝ CE；（2）若 AE＝ GE，求证：△ CEO是等腰直角三角形．圆压轴题八大模型题（三）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型 3双切线组合径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.Rt△PBC中，∠ ABC＝90°， Rt△PBC的直角边 PB 上有一点 A，以线段 AB 为直径的⊙ O 与斜边相切于点 D.C C CD D DαE PA OB P A O B P A O B图 (1)( 1) PB＝ 8, BC＝6, 求⊙ O 的半径( 2) PD ＝4, PB＝ 8, 求 BC 的长 . ( 3) PD ＝4, PA＝ 2, 求⊙ O 的半径图 (2) 图 (3)( 4) PD 2＝PA PB;( 6) 求证 : OC∥AD（变式） . r.＝1( 5) PB＝ 8， tan ，( 7) 若 AB＝ 2, BC＝ ,2r.求 PA 和 AD.求 AD、 PD 、PA 的长 .【典例】（2018 ·四川乐山）如图， P 是⊙ O 外的一点， PA、 PB 是⊙ O 的两条切线， A、 B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙ O 于点 C，交 PA的延长交于点 Q，连结 AC．（1）求证： AC∥ PO；（2）设 D 为 PB 的中点， QD 交 AB 于点 E ，若⊙ O 的半径为 3，CQ ＝ 2，求的值．BDFOPECAQ【变式运用】1.（ 2016 青海西宁）如图， D 为⊙ O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠ CDA= ∠ CBD ．（1 ）求证： CD 是⊙ O 的切线；（2 ）过点 B 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点E ， BC=6 ， ．求 BE 的长．（ 12 分）2.（2018 ·湖北武汉）如图， PA 是⊙ O 的切线， A 是切点， AC 是直径， AB 是弦，连接PB 、PC ， PC 交 AB 于点 E ，且 PA ＝ PB.A(1) 求证： PB 是⊙ O 的切线 .(2) 若∠ APC ＝ 3∠ BPC ，求PE的值 .OEPCECB3.（ 2017 泸州）如图，⊙ O 与 Rt△ABC的直角边 AC和斜边 AB 分别相切于点 C、 D，与边BC相交于点F，OA 与 CD 相交于点E，连接 FE 并延长交AC边于点 G．（1）求证： DF∥ AO；（2）若 AC＝ 6，AB＝ 10，求 CG的长．。