圆压轴题八大模型题（二）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型 2 切割线互垂在 Rt △ABC 中，点 E 是斜边 AB 上一点，以 EB 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 D ，与 BC 相交于点F.CCCDFDFDFAEOBAEOBAE OB图(1)图(2) 图(3)(1)AD=20,AE=10, 求 r;(3)AC=32 ， AE=10，求 r. (5)DB 2=BCBE; (2)AB=40,BC=24, 求 r.(4) ∠ ABD=∠ CBD.(6)AD 2=AEAB.【分析】 (1) 在 Rt △ADO 中， (10+r) 2=r 2+202, 得 r=15.(2) 由 DO ∥BC,得DO AO ,∴ r 40 r得： r=15.BCAB 2440(3)在 Rt △ADO 中， AD= (10r )2 r 2 ， DO=r ， AO=10+r ，由 DO ∥ BC ，ADAO得， r=15.AC AB(4)连结 DO,DO=BO,∠ ODB=∠ OBD;由 DO ∥ BC 得∠ CBD=∠ ODB,∴∠ ABD=∠ CBD.(5) 由 Rt △BCD ∽ Rt △ BDE 得 BD 2=BCBE.2(6) 由△ ADE ∽△ ABD 得 AD=AEAB.CCCDFD FD F GAEGOBAE OBAE OB图 (4) 图(5) 图 (6)(7) △ DCF ≌△ DGE; (10)DC=12,CF=6,(11)DC=12,CF=6, 求 (8)DF 2=CFBE;求 r 和 BF.CO 上任意线段的长 .(9)AG:AC=1:2,BD=10. 求 r.【分析】(7)由∠ EBD=∠ FBD 得 DE=DF,∴ DE=DF,又∠ DFC=∠ DEG,∠C=∠ DGE=90°得△ DCF ≌△ DGE.(8)由△ CDF ∽△ DBE 得CFDE 2=CFBE.,且 DE=DF,∴ DF DF BE(9) 由△ ADG ∽△ ABC 得 AG:AC=DG:BC=1:2,设 DG=k,则 DC=DG=k,BC=2k,DB= 5 k=10, ∴ k=25 ,2 25 EB, ∴ EB=5 5 5 5 ∴BG=BC=2k=4 5 , 由 Rt △ DBG ∽ Rt △ EBD 得 DB=GBEB, ∴ 10 =4,r=.2(10) ∠ C=∠CFG=∠ CDG=90°得矩形 DGFC,∴ DG=CF=6,DC=GF=GE=12,2 2 2 222C∴在 Rt △ GEO 中， GO+EG=EO, ∴ (r-6)+12 =r .∴r=15.GO=15-6=9 ，由中位线定理得 BF=2GO=18.DF(11)如图，在 Rt △ DCO 中， CO= 122152=3 41 ， GO=15-6=9,G PABOCF CP 69 41 E由 D0∥ CB 得 ,2 ,∴ PO=3 CO=.GO OP 9 3 5 5同理可得图中CO 上其它线段的长度 .图 a【典例】（2018 ·四川成都）如图，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ，O 为 AB 上一点，经过点 A ， D 的⊙ O 分别交 AB ， AC 于点 E ，F ，连接 OF 交 AD 于点 G.（1）求证： BC 是⊙ O 的切线；（2）设 AB ＝ x ， AF ＝ y ，试用含 x, y 的代数式表示线段 AD 的长；（ 3）若 BE ＝ 8，sinB ＝ 513，求 DG 的长 .AOG【分析】（ 1）连接 OD ，由 AD 为角平分线得到一EF对角相等， 再由等边对等角得到一对角相等，等量BCD代换得到内错角相等，进而得到 OD 与 AC 平行，（图 2-1）得到 OD 与 BC 垂直，即可得证；（2）连接 DF ，由（ 1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似，由相似得比例，即可表示出 AD ；（3）连接 EF ，设圆的半径为 r ，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出 r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与 BC 平行，得到 sin ∠AEF ＝sinB ，进而求出 DG 的长即可．解：（ 1）证明：如图，连接 OD ，∵AD 为∠ BAC 的角平分线，∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∵OA ＝OD ，∴∠ ODA ＝∠ OAD ，∴∠ ODA ＝∠ CAD ，∴ OD ∥ AC ，∵∠ C ＝ 90°，∴∠ ODC ＝ 90°，∴ OD ⊥ BC ，图 b∴BC 为圆 O 的切线；（2）连接 DF，由（ 1）知 BC为⊙ O 的切线，∴∠ FDC＝∠ DAF，∴∠ CDA＝∠ CFD，∴∠ AFD＝∠ ADB，∵∠ BAD＝∠ DAF，∴△ ABD∽△ ADF，∴ABAD ，AD AF即， AD2＝ AB·AF＝ xy，则 AD＝xy（3）连接 EF，在 Rt△BOD 中， sinB＝OD5，r5OB13设圆的半径为 r，可得，r 813解得： r＝ 5，∴ AE＝ 10，AB＝ 18，∵AE 是直径，∴∠AFE＝∠ C＝90°，∴E F∥ BC，∴∠ AEF＝∠ B，∴sin∠ AEF＝AF5，AE13∴AF＝AE?sin∠ AEF＝ 10×550，131350∵AF∥OD，∴AG AF1310，即 DG＝13DG OD513 AD，23∵AD＝AB AF185030 13，1313则 DG＝1330 133013. 231323【点拨】利用直角三角形、相似三角形的边与边之间的和差倍分关系，勾股定理的关系，比例线段的关系等设元建方程求线段的长度；因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，如母子型相似，共边角相似， 8 字型相似， A 字型相似等。

当出现求线段的一部分，还要考虑用局部占总体的比例来求解。

【变式运用】1.（2018 泸州）如图，已知 AB ，CD 是⊙ O 的直径，过点⊙O 的弦 DE 交 AB 于点 F ，且 DF ＝ EF．C 作⊙ O的切线交AB的延长线于点P，（1）求证：CO2＝ OF?OP；（2）连接 EB 交 CD于点 G，过点 G 作 GH⊥ AB 于点 H，若 PC＝4，PB＝4，求GH的长．解：（ 1）证明：∵ PC 是⊙ O 的切线，∴OC ⊥ PC ，∴∠ PCO ＝90°，∵AB 是直径， EF ＝ FD ，∴AB ⊥ ED ，∴∠ OFD ＝∠ OCP ＝90°，（图 2-2）∵∠ FOD ＝∠ COP ，∴△ OFD ∽△ OCP ，∴＝，∵ OD ＝ OC ，∴OC 2＝ OF?OP ．（2）解：如图作CM ⊥ OP 于 M ，连接 EC 、EO ．设 OC ＝ OB ＝ r ．2 2 2，在 Rt △ POC 中，∵ PC ＋ OC ＝ PO∴（ 4 ） 2＋r 2＝（ r ＋ 4） 2，∴ r ＝ 2， ∵CM ＝＝，∵DC 是直径，∴∠ CEF ＝∠ EFM ＝∠ CMF ＝90°， 图 c∴四边形 EFMC 是矩形，∴ E F ＝ CM ＝，在 Rt △ OEF 中， OF ＝＝ ，∴EC ＝ 2OF ＝ ，∵ EC ∥ OB ，∴ ＝＝ ，∵ GH ∥ CM ，∴＝ ＝ ， ∴GH ＝ ．2. （ 2018·云南昆明）如图， AB 是⊙ O 的直径， ED 切⊙ O 于点 C ，AD 交⊙ O 于点 F ，∠ AC 平分∠ BAD ，连接 BF ．（1）求证： AD ⊥ ED ；（2）若 CD ＝4， AF ＝ 2，求⊙ O 的半径．解：（ 1）证明：连接 OC ，如图，∵ AC 平分∠ BAD ，∴∠ 1＝∠ 2，∵ OA ＝ OC ，∴∠ 1＝∠ 3，∴∠ 2＝∠ 3，∴ OC ∥ AD ，∵ED 切⊙ O 于点 C ，∴ OC ⊥ DE ，（图 2-3）∴AD ⊥ ED ；（2）解： OC 交 BF 于 H，如图，∵AB 为直径，∴∠AFB＝90°，易得四边形 CDFH为矩形，∴FH＝ CD＝ 4，∠ CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴ BH＝ FH＝ 4，图 d∴BF＝ 8，在 Rt△ ABF 中， AB＝＝＝ 2，∴⊙ O 的半径为．3.（ 2018·江苏苏州）如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上， AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D，CE垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙ O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC．（1）求证： CD＝ CE；（2）若 AE＝ GE，求证：△ CEO是等腰直角三角形．证明：（ 1）连接 AC，∵ CD 是⊙ O 的切线，（图 2-4）∴OC⊥CD，∵ AD⊥CD，∴∠ DCO＝∠ D＝ 90°，∴AD∥ OC，∴∠ DAC＝∠ ACO，∵ OC＝ OA，∴∠ CAO＝∠ ACO，∴∠ DAC＝∠ CAO，∵CE⊥ AB，∴∠ CEA＝ 90°，在△ CDA和△ CEA中，∵，∴△ CDA≌△ CEA（ AAS），∴ CD＝ CE；（2）证法一：连接BC，∵△ CDA≌△ CEA，∴∠ DCA＝∠ ECA，∵CE⊥ AG，AE＝ EG，∴ CA＝ CG，∴∠ ECA＝∠ ECG，∵ AB 是⊙ O 的直径，图 e∴∠ ACB＝ 90°，∵ CE⊥ AB，∴∠ ACE＝∠ B，∵∠ B＝∠ F，∴∠ F＝∠ ACE＝∠ DCA＝∠ ECG，∵∠ D＝ 90°，∴∠ DCF＋∠ F＝ 90°，∴∠ F＝∠ DCA＝∠ ACE＝∠ ECG＝ 22. 5°，∴∠ AOC＝ 2∠ F＝45°，∴△ CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠ F＝ x，则∠ AOC＝ 2∠ F＝ 2x，∵AD∥ OC，∴∠ OAF＝∠ AOC＝ 2x，∴∠ CGA＝∠ OAF＋∠ F＝ 3x，∵ CE⊥ AG， AE＝ EG，∴CA＝ CG，∴∠ EAC＝∠ CGA，∵CE⊥ AG，AE＝ EG，∴ CA＝ CG，∴∠ EAC＝∠ CGA，∴∠ DAC＝∠ EAC＝∠ CGA＝3x，∵∠ DAC＋∠ EAC＋∠ OAF＝ 180°，∴3x＋3x＋2x＝180，x＝22. 5°，∴∠ AOC＝ 2x＝ 45°，∴△ CEO是等腰直角三角形．。