u, i
同相：12 0
正交：12
π 2
反相：12 π
0 u, i i 0 u, i
0
u i
t
u
t
u
i t
5.周期信号的有效值：
一个能够表征周期信号大小的特定值。
设有两个阻值相等的电阻 R，分别通以周期电流 i
和直流电流I ，在时间 T 内电阻消耗的能量分别为：
即流相：电等两流，Ii :个则:I 阻称,W如W值直果相流在0等T电0T相p的p流同t电t d时I阻dt为t间R周T0T，期0T内I分2R电R，i别d2流d两t t通个i以I的R电2R周有阻T0T期i效消2d电值t耗流。的i能和量直
10cos 314t 120 90
10cos 314t 210
10cos 314t 150 I2m 10 150
相量图：
I1m
600
I2 m
1500
§5.3 三种基本电路元件的相量模型 及KCL、KVL的相量形式
1.三种基本电路元件的相量模型：
三种基本电路元件在关联参考方向下的伏安关系
T02
T02
Im 2
0.707 Im
I Im 2
U Um 2
➢ 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
§5.2 正弦信号的相量表示
➢ 复数的表示形式：
Im
b
A
A a jb 代数形式
0
a Re
A cos j A sin 三角形式
A ej 指数形式
A 极坐标形式
➢ 用相量表示正弦信号：
§5.1 正弦信号的基本概念
1. 定义 definition： 随时间按正弦规律变化的电压或电流。
2.表示方法：
初相
➢ 函数式： ut Um cost
振幅
角频率
称为正弦信号的三要素。
➢
波形图：
u
t
Um
cos
t
π 3
i(t)
Im
cos(t
3π 4
)
3. 周期信号（Periodic signal）：
➢周期信号：每隔一定的时间间隔 T 重复变化且无始
无终的信号。 f t f t kT
➢周期 T (period)：周期信号变化一个循环所需的时间。
➢频率 f（frequency)：单位时间内周期信号重复变化
的次数。(Hz)
➢角频率（radian frequency)：
f1 T
2π (rad/s)
Y 1 I G jB ZU
单位：S
电导
电纳
I YU
三种基本电路元件：
ZR R
ZL j L
ZC
1
jC
1 YR R G
电导
YL
1
j L
jBL
感纳
YC jC jBC 容纳
3.综述：
直流电路
n
Uk 0
k 1
n
Ik 0
k 1
正弦稳态电路
n
Uk 0
k 1
n
Ik 0
k 1
U RI
2A
U
I1
解： 并联——选电压为参考相量。
I1 2.52 22 1.5A
例 : 电路如图，是一个测量电感线圈电感和电阻的电
路。已知 R1 50W , 测得电压 U 110V,U1 60V,
U2 70V, f 50Hz, 求 LX ,R X。
I
110
60 U1
U
U LX
U2
70
I
U RX
U R RIR
ZR R 电阻
U ZI Z R jX
UL j LIL
UC
1
jC
IC
ZL j L jX L 感抗
ZC
1
jC
jX C
容抗
若 Z 0，表明电压超前于电流，此元件(电路)呈感性。 若 Z 0，表明电压滞后于电流，此元件(电路)呈容性。
2.导纳（admittance） ：
解： ①作相量图。 串联——选电流为参考相量。
②根据相量图的几何关系，列方程求解。
110
R1 I 60 U1
U
U LX
70
U2
LX I
I
RX I U RX
60LX
I 110 sin
RX I 110 cos
I
sin 1 cos2 0.575
LX
110 sin I
0.167H
110cos 60
分别为：
uR RiR ,
uL
L
diL dt
,
iC
C
duC dt
在正弦稳态电路中，设
i Im cost i u Um cost u
下面分别讨论三种基本电路元件的相量模型。
➢电阻元件的相量模型：
i Im cost i
uR RiR
u Um cost u
Um cos(t u ) RIm cos(t i )
1000
求UOC: 作对应电路。
j 100 2 j
44.7 63.4 V
求 Z0: 作对应电路。
10//(j5) 2 j4 W
作戴维南等效电路，求
II
Z0
UOC j2 4
7.07 45
A
➢相量图分析： 例 : 电路如图，已知 I 2.5A, I2 2A ,求 I1 。
I I2 2.5A
UL j LIL 电感电压超前于电流 90o
UC
1
jC
IC
电容电压滞后于电流 90o
§5.4 阻抗与导纳
1.阻抗（impedance）： ➢定义definition：
Z
U I
U u I i
U I
u
i
电抗
Z Z R jX
阻抗角
电阻 单位：W
U ZI 欧姆定律的相量形式。
三种基本电路元件的阻抗：
Chapter 5 正弦稳态电路分析
Ac steady-state analysis circuits with sinusoidal inputs 重点：
• 正弦信号基本概念及相量表示 • 三种基本电路元件的相量模型及KCL、KVL的相量形式 • 阻抗与导纳的计算 • 正弦稳态电路的相量法分析 • 正弦稳态电路的功率计算 • 最大功率传输定理
T
4.初相、相位差：
➢ 初相 ：t 0 时的相位。 π
➢ 相位差：两个同频率正弦信号的相位之差。
u1 U1m cost 1 , u2 U2m cost 2 相位差：12 t 1 t 2 1 2
两个同频率正弦信号的相位差＝初相差。
如果 12 0U，m c表os示tu1超π3 前于 u2 。 如果 12 0 ，表示 u1滞后于 u2 。
U ZI
G 1 R
Y 1 Z
将直流电路的分析方法应用于正弦稳态电路分析，只
需作如下代换： U , I U , I
RZ G Y
直流电路
正弦稳态电路
§5.6 正弦稳态电路的相量法分析
Ac steady-state analysis circuits with sinusoidal inputs
例 : 电路如图，已知us 10 2 cos2t V，求i t 。
cos(t
i
π 2
)
Um LIm
u
i
π 2
Um
Um u
LIm i
π 2
j LI m
i
j LIm
U
m
j LI m
U jLI
Um jLIm U jLI
电感电压超前于电流 90
➢电容元件的相量模型：
uL
L
diL dt
UL j LIL
iC
C
duC dt
IC jCUC
UC
1
jC
IC
电容电压滞后于电流 90
I1
I2
② 列回路方程
回路 I1 : (3 j4)I1 j4I2 100 回路 I2 : j4I1 ( j4 j2)I2 2I1
(3 j4)I1 j4I2 10 (2 j4)I1 j2I2 0
➢戴维南定理的应用：
例 : 电路如图，求 I ?
解：
UOC
j5 10 j5
例:
u1 t
10
cos
t
π 6
V
,
u2 t
sin
t
π 6
V
求相位差。
解：
1
π 6
u2 (t)
cos
t
π 6
π 2
cos
t
π 3
2
π 3
12
π 6
π 3
π 6
如果 12 π
u1 滞后于 u2相位
π 6
。
则 21 2π 12 π
一般规定 相位差 π
➢ 同相、正交、反相：
Um RIm
u i
Um Um u RIm i RIm
Um RIm U RI
电阻元件的电压与电流同相。
➢电感元件的相量模型：
uL
L
diL dt
i Im cost i u Um cost u
Um
cos(t
u
)
L
d dt
(
Im
cos(t
i
))
LIm sin(t i )
LI m
解： ① 作电路的相量模型 2 rad/ s
② 运用直流电路分析方法列方程求解。
I Us 100 100 Z j4 2 j2 2 j2
100 2.5 2 45 A 2 245