2019年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育教研室 2019．3参考公式：样本数据12x x ,，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 函数()2sin(3π1)f x x =-(x ∈R)的最小正周期为 ▲ ．2． 若2(1i)1+i a b +=-（a b ∈R ,，i 是虚数单位），则i a b += ▲ ． 3． 某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差2s = ▲ ．4． 已知两个单位向量1e ,2e 的夹角为120，若向量122=+a e e ，14=b e ，则⋅a b = ▲ ． 5． 已知集合π,0,1,2,3,4,5,62n A x x n ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素x ，则恰有cos 0x =的概率为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a ▲ ．7． 设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ；（2）若a α⊥且b α⊥，则a ∥b ； （3）若a ∥α且a ∥β，则α∥β；（4）若a α⊥且a β⊥，则α∥β．上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ▲ ． 8． 若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，公差为2d．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项的积为n T，则数列为等比数列，公比为 ▲ ．9． 已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 10．已知{}n a 是等差数列，设12||||||n n T a a a =+++()n *∈N ．某学生设计了一个求n T 的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n 的表达式对n T 赋值，则空白处理框中应填入：n T ← ▲ ．11．已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ▲ ． 12．若不等式2210843≥k x y xy+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k = ▲ ． 14．若函数()=f x x t *∈N ）的最大值是正整数M ，则M = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5A =，5b c =． （1）求sin C 的值； （2）求sin(2)A C +的值；（3）若△ABC 的面积3sin sin 2S B C =，求a 的值．（第10题图）16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点．求证：（1）AE ∥平面PBC ；（2）PD ⊥平面ACE ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，右顶点为A ，动点M 为右准线上一点（异于右准线与x 轴的交点），设线段FM 交椭圆C 于点P ，已知椭圆C 的离心率为23，点M 的横坐标为92． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线P A 的斜率为1k ，直线MA 的斜率为2k ，求12k k ⋅的取值范围．18．(本小题满分16分)如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，:16:9MN NE =．线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN =x （m ），液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)． (1) 用x 的代数式表示AM ；（2）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； （3）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？（第17题图）DCBA E P （第16题图）NBA（第18题图）19．(本小题满分16分)已知等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，其前n 项的和为n S ．数列2{}na 的前n 项的 和为n A ， 数列1{(1)}n n a +-的前n 项的和为n B ． （1）若25A =，21B =-，求{}n a 的通项公式； （2）①当n 为奇数时，比较n n B S 与n A 的大小；②当n 为偶数时，若1q ≠，问是否存在常数λ（与n 无关），使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数2()ln f x x mx n x =++（0x >，实数m ，n 为常数）．（1）若230n m +=（0m >），且函数()f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值为0，求m 的值； （2）若对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，函数()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，对每个给定的n ，求m 的最大值h (n )．数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育教研室 2019．3注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的方程22332y x x =-，设y tx =，t 为参数，求曲线C 的参数方程．D ．选修4—5：不等式选讲设实数,,x y z 满足26x y z ++=，求222x y z ++的最小值，并求此时,,x y z 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．GFEDCB A （第21—A 题图）FEC 1 B 1A 1CBA（第22题图）指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90o BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a λ=．（1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．23．(本小题满分10分)一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球． （1）若n =15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望ξE ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?2019年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．23 2 3. 2 4. 0 5．37 6．2 7．（2）（4） 8 9．[102-,] 10． 2940n n -+ 11．5212. 1或2 13. 0 14. 7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1） ∵2222cos a b c bc A =+-=22426105c c -⨯=218c ，∴a =． …………………………………2分 ∵4cos 5A =，0πA <<， ∴3sin 5A =．∵sin sin a cA C=， ∴sin sin c A C a =3c ⨯……………………………5分 （2）∵c a <，∴C 为锐角，∴cos C ==∵3424sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=，2167cos22cos 1212525A A =-=⨯-=， ………………………8分 ∴sin(2)A C +=sin 2cos cos2sin A C A C +=2472525+=………………………10分 （3）∵5b c =， ∴sin 5sin B bC c==，sin 5sin B C =．∴23153sin sin sin 2220B C C ==． ……………12分又∵S =2213sin 2212a bc A c ==，∴231220a =，∴a ． ……………………14分 16．证明：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，∵E 为PD 中点，∴EF ∥DC 且EF =12DC ．………2分∵AB ∥DC 且12AB DC =， ∴EF ∥AB 且EF =AB ．……………4分 ∴四边形ABFE 为平行四边形． ∴AE ∥BF ． …………………6分 ∵AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ， ∴AE ∥平面PBC . ………………8分FP E A BCD（第16题图）（2）∵PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，PBBD B =，∴AC ⊥平面PBD ． ∵PD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥PD ． …………………………………………10分 ∵AP AD =，E 为PD 的中点，∴PD AE ⊥． …………………………………………12分 ∵AEAC A =，∴PD ⊥平面ACE . …………………………………………14分17．解：（1）由已知，得22,39,2c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……………………………………2分解得3,2.a c =⎧⎨=⎩ ∴ 229,5.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩………………………………4分∴椭圆C 的标准方程为22195x y +=．………………………………6分（2）设点11(,)P x y （123x -<<），点M 29(,)2y ，∵点F 、P 、M 三点共线，12x ≠-， ∴1211322y y x =+，121132(2)y y x =+， ∴点M 11139(,)22(2)y x +． ……………………………………………8分∵1113y k x =-，121133(2)y k x =+， ∴12k k ⋅=11111333(2)y y x x ⨯-+=2111133(2)(3)y x x +-． ……………………10分 ∵点P 在椭圆C 上， ∴2211195x y +=， ∴22115(9)9y x =--．∴12k k ⋅=2111513()(9)93(2)(3)x x x ⨯--+-=11365272x x +-⨯+=1651(1)272x -⨯++．……………12分∵123x -<<，∴12269k k ⋅<-． ∴12k k ⋅的取值范围是26(,)9-∞-． ……………………………………14分 18．解：（1）39xAM x =-(1030)x ≤≤． …………………………………2分 （2）2222229(9)x MN AN AM x x =+=+-． …………………………4分 ∵:16:9MN NE =， ∴916NE MN =． ∴2222999[]1616(9)x S MN NE MN x x =⋅==+-． …………………6分定义域为[10,30]． ……………………………8分 （3）224918(9)9(218)[2]16(9)x x x x S x x ---'=+-=339[(9)81]8(9)x x x --⨯-，………11分 令0S '=，得0x =（舍），9x =+…………………13分当109x <+≤时，0,S '<S 关于x 为减函数；当930x +<≤时，0,S '>S 关于x 为增函数；∴当9x =+S 取得最小值． …………………15分 答：当AN长为9+时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小．…16分19．解: (1) ∵25,A =21B =-,∴22211115,1,a a q a a q ⎧+=⎨-=-⎩ ∴12,1,2a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩或11,2.a q =⎧⎨=⎩ ………………2分 ∴21()2n n a -=-，或12n n a -=. ……………………………………4分(2) ∵222112()n n n n a a q a a ++===常数， 2111(1)(1)(1)n n n n n na a q a a ++++-=-⨯=--=常数， ∴数列2{}na ，1{(1)}n n a +-均为等比数列，首项分别为21a ，1a ，公比分别为2q ，q -． ………………………………6分①当n 为奇数时，当1q =时, 1n S na =，21n A na =，1n B a =,∴21n n n B S na A ==.当1q =-时, 1n S a =，21n A na =，1n B na =,∴21n n n B S na A ==. ……………………………………8分 当1q ≠±时, 设21()n k k *=-∈N ，21121(1)1k k a q S q ---=-，222122*********[1()](1)(1)11k k k k a q a q q A q q ------+==--，21211121[1()](1)11k k k a q a q B q q-----+==++,∴212121k k k B S A ---=．综上所述，当n 为奇数时，n n n B S A =. ……………………10分 ②当n 为偶数时， 存在常数121a qλ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． ……11分 ∵1q ≠，∴1(1)1n n a q S q -=-，2212(1)1n n a q A q -=-，1(1)1n n a q B q -=+．∴()n n n B S A λ-+=221112(1)(1)(1)[]111n n n a q a q a q q q q λ----++--222211122(1)(1)(1)111n n n a q a q a q q q q λ---=-+---21122(1)(1)11n n a q a q q qλ--=---=11(1)2()11n a q a q q λ---+ ． ………………………………14分 由题设，11(1)2()011n a q a q q λ--=-+对所有的偶数n 恒成立，又1(1)01n a q q-≠-， ∴121a qλ=+． ………………………………16分∴存在常数121a qλ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． 20．解：（1）当230n m +=时，22()3ln f x x mx m x =+-．则222323(23)()()2m x mx m x m x m f x x m x x x +-+-'=+-==． 令()0f x '=，得32mx =-（舍），x m =．…………………3分①当m >1时，∴当x m =时, 2223ln ()min m x m f m -=．令2223ln 0m m m -=，得23m =e ． ……………………………5分 ②当01m <≤时，()f x '≥0在[1,)x ∈+∞上恒成立，()f x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，当1x =时, min ()1f x m =+．令10m +=，得1m =-（舍）．综上所述，所求m 为23e m =． ……………………………7分 (2) ∵对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，则对于x ∈(1,3)，22()2n x mx nf x x m x x++'=++=＜0，∴()0≤f x '在区间[1,3]上恒成立． ……………………9分 设g (x )=22x mx n ++，∵0x >，∴g (x )≤0在区间[1,3]上恒成立． 由g (x )二次项系数为正，得(1)(3)g g ⎧⎨⎩≤0,≤0, 即2318m n m n ++⎧⎨++⎩≤0,≤0, 亦即23n m nm -⎧⎪⎨⎪⎩≤-,≤-.-6 ………12分 ∵ (2)n --(6)3n ---=224(6)33n n -=--，∴ 当n ＜6时，m ≤3n--6， 当n ≥6时，m ≤2n --， ……………………………14分∴ 当n ＜6时，h (n )= 63n--，当n ≥6时，h (n )= 2n --， 即 6.6,6,()32,n n h n n n ⎧--<⎪=⎨⎪--⎩≥ ……………………………16分数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结EF ．∵B C F E ,,,四点共圆,∴ABC EFD ∠=∠． ………………………………2分 ∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°．∴BAD EFD ∠+∠=180°． ………………………………6分 ∴A D F E ,,,四点共圆． ………………………………8分 ∵ED 交AF 于点G ，∴AG GF DG GE ⋅=⋅． ………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵A 的特征多项式为()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+ ， ……………………………2分 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-． ………………4分 当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………………………7分当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩,，取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：将y tx =代入22332y x x =-，得222332t x x x =-，即32223x t x =-()． ………………………………4分 当 x =0时，y =0；当0x ≠时， 232t x -=． ………………………………………6分从而332t t y -=． ………………………………………8分∵原点(0,0)也满足233232t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,， ∴曲线C 的参数方程为233232t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,（t 为参数）． ……………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解:∵2222222()(112)2)36x y z x y z ++++++=≥(, ………………………5分 ∴2226()x y z ++≥，当且仅当2zx y ==时取等号, ………………………8分 ∵26x y z ++=，∴1,1,2x y z ===．∴222x y z ++的最小值为6,此时1,1,2x y z ===．………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． （1）设a =1，则AB =AC =1，1AA =3，各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ． (1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-．…………2分∵12AE A F ==11AE A F ⋅=-，z A A （第22题图）∴111,1cos 22AE A F AE A F AE A F⋅===-．∴向量AE 和1A F 所成的角为120o ， ∴异面直线AE 与1A F 所成角为060．…4分（2）∵(,0,)3b E a ，2(0,,)3bF a ，∴2(,0,),(0,,)33b bAE a AF a ==．设平面AEF 的法向量为1(,,)x y z n ， 则10AE ⋅=n ，且10AF ⋅=n ． 即03bz ax +=，且203bz ay +=． 令1z =，则2,33b bx y a a=-=-． ∴12(,,1)33b b a a =--n =2(,,1)33λλ--是平面AEF 的一个法向量． ………6分 同理，22(,,1)33b b a a =n =2(,,1)33λλ是平面1A EF 的一个法向量． ………8分 ∵平面AEF ⊥平面1A EF ，∴120⋅=n n ．∴22221099λλ--+=．解得，32λ=．∴当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=． ………………………10分23．解：（1）设袋中黑球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则2()155x P A ==． ∴6x =． …………………………………………………1分设袋中白球的个数为y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17y C P B C -=-=，∴2291200y y-+=，∴5y=或24y=(舍)．∴红球的个数为15654--=(个)．…………………………………3分∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是ξ的数学期望11442560122110535105Eξ=⨯+⨯+⨯=．…………6分（2）设袋中有黑球z个，则2(5,10,15,5z n n==…）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，则23521661()125251nnCP CC n=-=+⨯-，…………………………………8分当5n=时，()P C最大，最大值为710．…………………………………10分。