初中数学竞赛专题:不等式（2）§5.4 不等式的证明和应用5.4.1★设a 、b 、c 的平均数为M ,a 、b 的平均数为N ,N 、c 的平均数为P .若a b c >>,则M 与P 的大小关系是（ ） A.M P = B.M P > C.M P <D.不确定解析 因为3a b c M ++=,2a b N +=,224N c a b c P +++==,212a b cM P +--=,因为a b c >>,所以2201212a b c c c c+-+->=,即0M P ->,所以M P >.故选B. 5.4.2★若a 、b 是正数,且满足12345(111)(111)a b =+-,则a 与b 之间的大小关系是（ ） A.a b > B.a b = C.a b <D.不能确定解析 因为12345(111)(111)a b =+- 2111111()a b ab =+--,所以2111()1234511124a b ab ab -=-+=+.由于0a >,0b >,所以0ab >.所以240ab +>,即0a b ->,a b >.故选A.5.4.3★若223894613M x xy y x y =-+-++（x 、y 是实数）,则M 的值一定是（ ）. A.正数 B.负数 C.零D.整数解析 因为223894613M x xy y x y =-+-++2222(2)(2)(3)0x y x y =-+-++≥,且3x y -,2x -,3y +这三个数不能同时为0,所以0M >. 故选A.5.4.4★设a 、b 是正整数,且满足5659a b +≤≤,0.90.91ab<<,则22b a -等于（ ）. A.171B.177C.180D.182解析 由题设得0.959b b +<,0.9156b b +>,所以 2932b <<.因此30b =,31.当30b =时,由0.90.91b a b <<,得2728a <<,这样的正整数a 不存在. 当31b =时,由0.90.91b a b <<,得2729a <<,所以28a =. 所以,22177b a -=. 故选B.5.4.5★★已知b x a=,a 、b 为互质的正整数,且8a ≤11x <<. （1）试写出一个满足条件的x ； （2）求所有满足条件的x . 解析 （1）12x =满足条件.（2）因为b x a=,a 、b 为互质的正整数,且8a ≤,所以11ba <, 即1)1)a b a <<.当1a =时11b <<,这样的正整数b 不存在.当2a =时,1)1)b -<<,故1b =,此时12x =.当3a =时,1)1)b <<,故2b =,此时23x =.当4a =时,1)1)b -<<,与a 互质的正整数b 不存在.当5a =时,1)1)b <<,故3b =,此时35x =.当6a =时,1)1)b <<-,与a 互质的正整数b 不存在.当7a =时,1)1)b -<<,故3b =,4,5,此时37x =,47,57.当8a =时,1)1)b <<,故5b =,此时58x =.所以,满足条件的所有分数为12、23、35、37、47、57、58. 5.4.6★★已知:13223a a a +≥,24323a a a +≥,35423a a a +≥,…,810923a a a +≥,911023a a a +≥,102123a a a +≥和123910100a a a a a +++++=.求1a ,2a ,3a ,…,9a ,10a 的值.解析 将10个不等式累加得12101210()2()a a a a a a +++++++12103()a a a +++≥,①当且仅当10个不等式取等号时,①式才成立. 由13223a a a +=可以得到12232()a a a a -=-,②由24323a a a +=可以得到23342()a a a a -=-,③…由102123a a a +=可以得到101122()a a a a -=-,由②和③可推知212342()a a a a -=-.类似地,可以推知1012122()a a a a -=-,所以,12a a =.同理可得12310a a a a ====.所以1231010a a a a =====.5.4.7★★证明:（1）2()4a b ab +≤；（2）a b +（3）如果a 是正实数,那么12a a+≥；（4）设a 、b 是非负实数,则11()4a b a b⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥； （5）222a b c ab bc ac ++++≥.解析 （1）在222a b ab +≥的左右两边分别加上2ab 得到2()4a b ab +≤, 这个不等式说明:如果两个正数的和是一个常数,则乘积有最大值,如果两个正数的乘积是一个常数,则和有最小值.（2）在222a b ab +≥的左右两边分别加上22a b +得到a b +这个不等式说明了两个数的和与平方和之间的不等式关系.（3）在（1）中令1b a =,得12a a+≥,这个不等式说明了一个正数与它倒数的和不小于2. （4）由（3）可得11()2224a b a b a b b a ⎛⎫++=+++= ⎪⎝⎭≥, 这个不等式说明了两个数的和与倒数和之间的不等式关系. （5）由222a b ab +≥,222a c ac +≥,222b c bc +≥可以得到222a b c ab bc ac ++++≥.5.4.8★★设a ,b ,0c >,求证:222b c a a b c a b c++++≥. 解析 因为22b a b a +≥,22c b c b+≥,22a c a c +≥, 所以222b c a a b c a b c++++≥. 5.4.9★★★设a ,b ,0c >,求证:32a b c b c c a a b +++++≥. 解析 因为a b cb c c a a b +++++ 3a b c a b c a b cb c c a a b ++++++=++-+++, 而2a b c a b c a b c b cc a a b ++++++⎛⎫++⎪+++⎝⎭ ()()()a b b c c a b c +++++=+()()()a b a c b c c a+++++++()()()a b b c a c a b+++++++3b c a b a c b c a c a ba b b c b c a c a b a c++++++=++++++++++++ 32229+++=≥,所以,93322a b c b c c a a b ++-=+++≥. 5.4.10★★若正数a 、b 、c 满足1a b c ++=,求证:(1)(1)(1)8(1)(1)(1)a b c a b c +++---≥.解析 因为(1)(1)(1)a b c +++(2)(2)(2)a b c b a c c a b =++++++,而2a b c a b a c ++=+++≥,2b a c b a b c ++=+++≥2c a b c a c b ++=+++≥所以(1)(1)(1)8()()()a b c b c a c a b ++++++≥ 8(1)(1)(1)a b c =---.5.4.11★★（1）已知正数x 、y 、z 满足1x y z ++=,求证:14936x y z++≥； （2）已知正数x 、y 满足231x y +=,求证:3224x y+≥； （3）已知正数x 、y 满足1x y +=,求证:11122x y +++≥. 解析 （1）由题设和平均不等式得149x y z++149()x y z x y z ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭494914y x z x z y x y x z yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 14461236+++=≥.（2）由题设和平均不等式得3232(23)x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭9412y xx y=++121224+=≥.（3）由题设和平均不等式得11111(21)21421x y x y x y ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭1122421y x x y ⎛⎫++=++ ⎪++⎝⎭ 11122421y x x y ⎛⎫++=++ ⎪++⎝⎭11122+=≥. 5.4.12★★（1）若0x >,求4x x+的最小值； （2）若1x >-,求41x x ++的最小值； （3）若12x >-,求121x x ++的最小值.解析 （1）因为44x x+≥,当2x =时等号成立,所以,欲求的最小值是4. （2）因为441111x x x x +=++-++13=≥, 当1x =时等号成立,所以,欲求的最小值是3. （3）因为1111212212x x x x +=++-++12≥12=,当x 时等号成立,所以,12. 5.4.13★★（1）若102x <<,求(12)x x -的最大值； （2）若113x -<<,求(1)(13)x x +-的最大值. 解析 （1）因为1(12)2(12)2x x x x -=⨯-21(212)1248x x +-⨯=≤, 当14x =时等号成立,所以,欲求的最大值是18. （2）因为1(1)(13)(33)(13)3x x x x +-=+-21(3313)4343x x ++-=≤, 当13x =-时等号成立,所以,欲求的最大值是13.5.4.14★★求代数式. 解析 我们有12≤ 22221((2)(2))22a b b a +-++-=≤, 当1a b ==时等号成立,故欲求的最大值为2. 评注 这里,在第一个不等式中,用了||a a =≤5.4.15★★★设正实数x 、y 、z 满足()1xyz x y z ++=,求()()x y y z ++的最小值. 解析 因为()()()x y y z zx y x y z ++=+++2=≥,当1x =,1y =,1z =时等号成立,故最小值为2. 5.4.16★★★设0a b >>,求21()a b a b +-的最小值.解析 因为22(())()44b a b a b a b +--=≤, 所以222144()a a b a b a ++-≥≥,当a =2b =时等号成立. 所以,欲求的最小值是4.5.4.17★★设0a b >>,59a b +≥,481ab ≤. 求证:49a ≥. 解析 因为44416()99981a b ab a b ⎛⎫⎛⎫--=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 445160819981-⨯+=≤, 又4499a b ->-,所以409a -≥,即49a ≥. 5.4.18★★已知x 、y 、z 是实数,且8x y z ++=,22224x y z ++=.求证:443x ≤≤,443y ≤≤,443z ≤≤. 解析 因为8y z x +=-,22224y z x +=-,而 2222()()y z y z ++≥, 所以222(24)(8)x x --≥,224826416x x x --+≥, 2316160x x -+≤, (34)(4)0x x --≤,解得443x ≤≤. 同理可证:443y ≤≤,443z ≤≤.5.4.19★★★已知实数a 、b 、c 满足:a b c >>,且1a b c ++=,2221a b c ++=.求证:413a b <+<. 解析 原不等式等价于103c -<<. 因为1a b c +=-,2221a b c +=-, 又因为2222()()a b a b +>+,所以222(1)(1)c c ->-,222221c c c ->-+, 23210c c --<, (31)(1)0c c +-<,解得 113c -<<.若0c ≥,则0a b >>,由1a b c ++=,可得01c b a <<<≤.于是222a b c a b c ++<++,矛盾！ 故103c -<<.5.4.20★★★若实数a 、b 满足5||7b =,求3||S b =的取值范围. 解析 由题设分别消去b 、a ,得215S +=14319||S b -=.0,||0b ≥,所以2150,1430,S S +⎧⎨-⎩≥≥ 所以211453S -≤≤. 反之,若S 满足不等式211453S -≤≤,则易知存在a 、b 满足题设条件. 所以,所求的S 的取值范围为211453S -≤≤. 5.4.21★★★已知实数a 、b 满足221a ab b ++=,且22t ab a b =--,求t 的取值范围. 解析1 由221a ab b ++=,22ab a b t --=相加,得21ab t =+,故12t ab +=. 又222()a b a ab b ab +=+++3102t ab +=+=≥,所以3t -≥且a b +=. 于是可知a 、b 是关于x 的方程2102t x +±+= 的两个实数根. 由3312(1)0222t t t +∆=-+=--≥,解出13t -≤. 综上所述,t 的取值范围是133t --≤≤.解析2 由2222()()1()1ab a ab b a b a b -=++-+=-+≤,所以1ab -≥.（当1a b =-=时等号成立） 由2223()()ab a ab b a b =++-- 21()1a b =--≤,故31ab ≤,即13ab ≤.（当a b ==时等号成立） 于是有113ab -≤≤,从而有2223ab -≤≤. 根据解析1,可知:21t ab =-.所以133t --≤≤.5.4.22★★设正数a 、b 满足1110a b b a--++=. 求证:413a b <+≤. 解析 由1110a b b a--++=可得 22a ab b a b ++=+,则2()()ab a b a b =+-+()(1)a b a b =++-. ①由于a 、b 是两个正数,所以0ab >,0a b +>,所以10a b +->,从而1a b +>.另一方面,由22()()44a b a b ab ab +=-+≥,可得2()4a b ab +≤,结合①式可得14a ba b ++-≥,所以43a b +≤.因此,413a b <+≤.5.4.23★★★设2()f x ax bx c =++（a 、b 、c 都是实数）,已知|(1)|1f -≤,|(0)|1f ≤,|(1)|1f ≤,求证:当11x -≤≤时,5|()|4f x ≤. 解析 因为(0),(1),(1),f c f a b c f a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩所以1((1)(1))(0),21((1)(1)),2(0).a f f f b f f c f ⎧=+--⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪⎩于是211|()|((1)(1))(0)((1)(1))(0)22f x f f f x f f x f ⎛⎫=+--+--+ ⎪⎝⎭22211()(1)(1)(0)()(1)22x x f x f x x f =++-+--211|||1||(1)||1||(0)||||1||(1)|22x x f x f x x f ⋅+⋅+-⋅+⋅-⋅-≤ 211||(1)1||(1)22x x x x x ++-+-≤ 22155||1||244x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤.5.4.24★★★证明:对任意三角形,一定存在它的两条边,它们的长u 、v 满足1u v <≤. 解析 若结论不成立,则对于ABC △的三边长a 、b 、c ,不妨设a b c >>,于是a b ①b c ②记b c s =+,a b t c s t =+=++,则s ,0t >,代入①得c s t c s +++, 11s t c c s c+++令sx c =,t y c=,则11x y x +++. ③由a b c <+,得c s t c s c ++<++,即t c <,于是1t y c=<.由②得1b c s x c c +==+ ④由③、④得1(1)y x ⎫+⎪⎪⎝⎭≥1=, 矛盾.从而命题得证.5.4.25★★★若正实数x 、y 、z 可以是一个三角形的三边长,则称（x ,y ,z ）是三角形数.若（a ,b ,c ）和111,,a b c ⎛⎫⎪⎝⎭均为三角形数,且a b c ≤≤.求ac的取值范围. 解析 由题设得,111,a b c c b a+>⎧⎪⎨+>⎪⎩所以11111c c a c b a+>+>-, 即有111c c a a +>-,2310a a c c ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得a c <<. 而1a c ≤,所以所求的a c的取值范围为1ac<≤. §5.5 应用题5.5.1★某宾馆底楼客房比二楼客房少5间.某旅游团有48人,若全安排住在底楼,每间住4人,房间不够；每间住5人,有房间没有住满5人.又若全安排住二楼,每间住3人,房间不够；每间住4人,有房间没有住满4人.问该宾馆底楼有多少间客房？解析 设底楼有客房x 间,则二楼有客房(5)x +间.依题意,可得如下不等式组:448,548,3(5)48,4(5)48,x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩ 解不等式组得 9.611x <<. 因为x 是整数,所以,10x =. 故宾馆的底楼有10间客房.5.5.2★★一列客车始终作匀速运动,它通过长为450米的桥时,从车头上桥到车尾下桥共用33秒；它穿过长760米的隧道时,整个车身都在隧道里的时间为22秒．从客车的对面开来一列长度为a 米,速度为每秒v 米的货车,两车交错,从车头相遇到车尾相离共用t 秒． （1）写出用a 、v 表示t 的函数解析式；（2）若货车的速度不低于每秒12米,且不到每秒15米,其长度为324米,求两车交错所用时间的取值范围．解析 （1）设客车的速度为每秒x 米,客车的长度为y 米．依题意知45033,76022.y x y x +=⎧⎨-=⎩解得22,276.x y =⎧⎨=⎩所以,27622a t v +=+（0v >,0a >）. （2）当324a =,1215v <≤时,由（1）得60022t v =+. 又因为342237v +<≤,所以,600600300372217v <+≤. 故t 的取值范围为600600300372217v <+≤. 5.5.3★★8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站15 km 的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟．这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60 km /h ,人步行的平均速度是5 km /h ．试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站．解析 【方案一】当一辆小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内的4个人送到火车站,立即返回接步行的4个人到火车站．设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为km x ,根据题意,有1515560x x +-=, 解得3013x =．因此这8个人全部到火车站所需时间为 3030515601313⎛⎫÷+-÷ ⎪⎝⎭ 3552=（小时）54013=（分钟）42<（分钟）. 故此方案可行,【方案二】当一辆小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人先下车步行,另一辆车将车内的4个人送到某地方后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人,使得两批人员最后同时到达车站．故障点火车站分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如图所示,D 为无故障汽车人员下车地点,C 为有故障汽车人员再次上车地点．因此,设AC DB y ==,根据题意,有15152560y y y-+-=, 解得2y =．因此这8个人同时到火车站所需时间为21523756060-+=（小时）37=（分钟）42<（分钟）.故此方案也可行．5.5.4★★某出租车的收费标准是:5千米之内起步费是10.8元,以后每增加1千米增收1.2元（不足1千米也算一个1千米）．现从A 地到B 地共支出24元（不计等候时间所需费用）．如果从A 地到B 地是先步行460米,然后再乘车也是24元（同样不计等候时间所需费用）,求从AB 的中点C 到B 地需多少车费．解析 设从A 地到B 地的距离为x 千米,由于2410.8111.2-=,所以510511x +<+≤,即 1516x <≤.①又 5100.46511x +<-+≤,所以15.4616.46x <≤.②由①、②便知15.4616x <≤.故7.7382x <≤．即C 与B 之间的路程在7.73千米至8千米之间,所需车费为10.8(85) 1.214.4+-⨯=（元）． 5.5.5★★从A 站到B 站300千米,每30千米设一路标（如图）,从早700：开始,货车每隔5分钟从A 站发出一辆开往B 站,车速为每小时60千米；早上830：由A 站发出一辆小轿车驶向B 站,车速为每小时100千米．已知小轿车在某两相邻路标之间（不包括路标处）追过三辆货车,问:此时小轿车已经追过多少辆货车（与小轿车同时出发的那辆货车不计算在内）？路标11路标3路标2路标1BA解析 因为相邻两辆货车之间的距离为560560⨯=（千米）,所以小轿车从追上第k 辆货车开始,到它追上第1k +辆货车,所需时间为15(10060)8÷-=（小时）,所以它追上第志辆货车需要18k 小时,设小轿车追上第x 、1x +、2(218)x x ++≤辆货车是在两个路标之间,这两个路标分别是第y 、1y +个,则我们有110030,81100(2)30(1).8x y x y ⎧⨯>⎪⎪⎨⎪⨯+<+⎪⎩①②由①得,512x y >；由②得,5122x y <+,而x 、y 都是整数,所以5121x y =+,0y =,1,2, (10)于是只有5x =,2y =和17x =,7y =（舍去）． 所以,小轿车追过了7辆货车．5.5.6★★★正五边形广场ABCDE 的周长为2000米,甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发绕广场沿A B C D E A →→→→→→的方向行走,甲的速度为50米／分,乙的速度为46米／分,那么,出发后经过多少分钟,甲、乙第一次开始行走在同一条边上？解析 设甲走完x （x 为正整数）条边时,两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x 米,乙走了4004636850xx ⨯=米.于是 368(1)800400(1)400x x -+-->,且(368800)400400x x +-≤, 所以,12.513.5x <≤,故13x =,此时4001310450t ⨯==.即经过104分钟,甲、乙第一次开始行走在同一条边上.5.5.7★★★如图,甲、乙两人在周长为400m 的正方形水池相邻的两顶点上同时同向出发绕池边行走,乙在甲后,甲每分钟走50 m ,乙每分钟走44 m ,求乙甲DCBA（1）甲、乙两人自出发后经几分钟才能初次在同一边上行走（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点时的情形）；（2）第一次相遇之前,两人在正方形同一边上行走了多少分钟？ 解析 （1）两人初次在同一边上时,甲比乙要多走3边．设两人初次在同一边上时,乙已走了x 边,则甲走了(3)x +边,也就是甲走了100(3)m x +,乙走了100(3)44m 50x +⨯. 因为甲在前乙在后,所以,当甲、乙同在一边时,乙所走的距离应超过100m x ,并且当甲到了另一边 的端点时,乙肯定没到相邻的端点,所以乙走的距离又应不足100(1)m x +.于是100(3)10044100(1)50x x x +<⨯<+, 解得41223x <<． 故当14x =（边）,需经过100(143)3450+=分钟时才能初次在同一边上行走． （2）设出发y 分钟后,甲、乙两人第一次相遇（即甲追上乙）． 则5030044y y -=,50y =（分钟）．甲从出发后34分钟开始,每走到一顶点,都要与乙同在一边上行走一段距离,直到乙走到顶点开始转弯,甲从第34分钟开始,要走8边后才能与乙在某一顶点相遇． 分别讨论如下:第34分钟时,34501700⨯=,34441496⨯=.甲、乙位置如图（1）所示,第一次同行时间为444分钟. 第36分钟时,36501800⨯=,36441584⨯=.甲、乙位置如图（2）所示,第二次同行的时间为1644分钟． 同样,不难推得后6次位置如图（3）～（8）所示．所以,第一次相遇前,两人在同一边上行走的时间是:4162840526476883684844444444444444444411+++++++==（分钟）. 52乙甲甲甲乙(5)(6)(7)(8)88(4)(3)(2)(1)乙甲甲甲4乙5.5.8★★某人将一本书的页码按1,2,3,…的顺序相加,其中有一个页码被多加了一次,结果得到 一个错误的总和为2005,则被多加的页码是多少？ 解析 设全书共n 页,被多加的页码为x ,则1x n ≤≤,(1)20052n n x ++=. ①而(1)(1)1200522n n n n n ++++≤≤, 即 224010(3)n n n n +++≤≤.②63,验算知满足②的62n =. 代入①得62632005522x ⨯=-=. 5.5.9★★甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食．如果从甲库调90袋到乙库,则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库,则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？解析 设甲库原来存粮a 袋,乙库原来存粮b 袋,依题意可得2(90)90a b -=+.①再设乙库调c 袋到甲库,则甲库存粮是乙库的6倍,即6()a c b c +=-． ②由①式得 2270b a =-. ③ 把③代入②,并整理得1171620a c -=． 由于1116204(1)23277a a c a -+==-+,又a 、c 是正整数,从而有11162017a -≥,即148a ≥；并且7整除4(1)a +,又因为4与7互素,所以7整除1a +. 经检验,可知a 的最小值为153．5.5.10★★一家机密文件碎纸公司有许多位雇员,这些雇员在输送带前排列成一列,分别编号为l ,2,3,…老板接到将一张文件撕碎的任务,他把这份文件撕成5块后交给第1号雇员．每当第n 号雇员接到前手传来的一叠纸时,都从中取n 块,把每块再分成5块,然后再传给第1n +号雇员．若第k 号雇员接到前手传来的总块数少于2006块,但传给下一位的总块数超过2006块,请问k 是多少？ 解析 第1次操作完毕后为9（块）；第2次操作完毕后为54817++=（块）；第3次操作完毕后为5+481229++=（块）……第n 次操作完毕后为54(123)S n =+⨯++++块.当31n =时,5231321989S =+⨯⨯=； 当32n =时,5232332117S =+⨯⨯=. 所以,32k =.5.5.11★★把若干个苹果分给若干个孩子,如果每人分3个,则余8个；每人分5个,则最后一人分得的苹果数不足5个,问共有多少个孩子？多少个苹果？解析 如设有y 个苹果,x 个孩子,那么解此题的关键是理解“每人分5个,则最后一人分得数不足5个”这句话的含义,此话是苹果多于5(1)x -个,同时又少于5x 个. 设有苹果y 个,小孩子x 人,则根据题意,得38,5(1)5.y x x y x =+⎧⎨-<<⎩于是385,385(1).x x x x +<⎧⎨+>-⎩解得,4 6.5x <<,所以小孩子数为5或6.当5x =时,35823y =⨯+=,当6x =时,36826y =⨯+=. 所以,有5个孩子,23个苹果,或6个孩子,26个苹果．5.5.12★★★在黑板上从1开始,写出一组连续的正整数,然后擦去其中一个数,剩下来的数的平均数是73517,问擦去的数是什么数？ 解析 设在黑板上写出来的数是1,2．…,n ,擦去的数是k ,则1k n ≤≤,于是1212112n k n n nn n +++-+++-=--≥,121212112n k n n n n +++-+++-+=--≤. 由题意便得735,1727235.172n n ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤ 解得 141468701717n ≤≤. 由于n 是正整数,且17|(1)n -,故n 只能为69,再由12697356817k +++-=,解得7k =,故擦去的数是7．5.5.13★★某工厂每天用于生产玩具小狗和小猫的全部劳动力为90个工时,原料为80个单位．生产一个小狗要用2个工时和4个单位的原料；生产一个小猫要用3个工时和1个单位的原料．问每天生产玩具小狗和小猫的总数最多是多少？解析1 设生产玩具小狗和小猫的数量分别是x 和y ,由已知条件,可以得到两个不等式:2390,480,x y x y +⎧⎨+⎩≤≤ ①可以分别列出①的第1个和第2个不等式x 和y 的解,然后再找出x y +的最大值.解析2 将①的第1个不等式方程乘2与第2个不等式相加,得到87260x y +≤.即有不等式 7()260x y x +-≤,113737777x x x y -++-=-≤. ②解二元一次方程组2390,480,x y x y +=⎧⎨+=⎩得到15x =,20y =是满足①的一组解,即可以有,35x y +≥. ③从①的第一个方程,2303x y -≤, ④④式说明y 最大是30,结合③,所以,5x ≥．再次利用④2102303026333x y --≤≤≤. 因为y 必须是整数,所以,26y ≤.再次利用③,得到9x ≥．利用②,得到186373735777x x y -+--=≤≤. 上式说明x y +最大不超过35,③式说明,x y +可以达到35.所以,每天生产玩具小狗和小猫的总数最多可以是35个．5.5.14★★某种商品的原价为100元,现有四种调价方案:（1）先涨价%m ,再降价%n ；（2）先涨价%n ,再降价%m ；（3）先涨价%2m n -,再降价%2m n -； （4）先涨价%2m n +,再降价%2m n +． 其中0100n m <<<.求调价后售价最高的方案,解析 第（1）种方案售价为100(1%)(1%)a m n =+-；第（2）种方案售价为100(1%)(1%)b n m =+-；第（3）种方案售价为1001%1%22m n m n c --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 第（4）种方案售价为1001%1%22m n m n d ++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0100n m <<<,于是有1%1%0m n +>+>,1%1%0n m ->->,两式相乘得(1%)(1%)(1%)(1%)m n n m +->+-,即a b >. 又因为22m n m n n m -+<<<,于是有 1001%1%22m n m n c d --⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1001%1%22m n m n ++⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 221001%1%22m n m n ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 22100%%022m n m n ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 即c d >.因为100(1%)(1%)1%1%22m n m n a c m n ⎡--⎤⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2()1001%%%1%4m n n m mn ⎡⎤+=-+--+⎢⎥⎣⎦ 2()4m n m n mn -=--+.显然2()4m n m n mn ---+既可以大于0,又可以小于0,还可以等于0． 所以,可能有a c >,a c =或a c <.因此,调价后售价最高的方案是第（1）方案或第（3）方案,5.5.15★★某人乘船由甲地顺流到乙地,再从乙地逆流回到甲地,如果水流速度和船速保持不变,请你思考,在静水时用的时间多,还是在有流速时用的时间多？解析 设甲地距乙地S 千米,水流速度为a 千米／时,船的静水速度为x 千米／时．（1）静水中往返甲、乙两地,需2S S S x x x+=（时）； （2）由甲地顺流到乙地,再逆流返回甲地,需222S S xS x a x a x a+=+--（时）, 因为0a ≠,所以222222S xS xS x x x a =<-. 故在静水时用的时间少．5.5.16★★一队公共汽车正在行驶,甲、乙两个检查员招呼这列车队停下来．甲专门统计超载汽车在这车队中的百分数,乙专门统计超载乘客在总乘客中的百分数,他们谁的百分数大些（规定超过50名乘客就算超载）？解析 乙的大.假设这个车队中超载公共汽车的辆数为k ,未超载的辆数为l ,超载的汽车上的乘客人数为A ,未超载汽车上的乘客人数为B ．那么依题意有50A k >,50B l ≤,两式变形为50A k >,50B l ≤,因此B l A k <,在不等式的两端同时加上1,于是就得到A B l k A k++<,两端同时取倒数并乘以100%,就得到 100%100%A k A B l k⋅>⋅++. 这个不等式就表明了超载乘客的百分数要大于超载汽车辆数在车队内所占的百分数．。