数学培优讲义
均值不等式
均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。

本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。

主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。

定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+
推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤b a ab
推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3
3⎪⎭
⎫
⎝⎛++≤c b a abc
推论3、
),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n
a a a n n
n n
（等号成立的条件是n a a a =⋅⋅⋅==21）
例 题 分 析
例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1
求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥
练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1
求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥
练习2、设a >b >0，那么a 2+)
(1
b a b -的最小值是_____
例2、（1）的最大值；
求函数设)cos 1(2
sin
,0αα
πα+=<<y （2）的最小值。

求（且已知))(,1)(,,,z y y x z y x xyz R z y x ++=++∈+
练习1、的最小值，求若b
b a a b a )(1
0-+>>
练习2、设a >b >c ，证明4≥--+--c
b c
a b a c a
练习3、设X 1, X 2…X n +
∈R ，求证≥++++-1
221
32
2221...X X X X X X X X n n n X 1+ X 2+…+ X n
练习4、的最小值，求设xz
y z x y z x z y x ++--->>)(27
2
例3、（1）证明：对任意实数a >1,b >1， 有
81
12
2≥-+-a b b a
()()()()()()43111111,
1,,,)2(333≥
++++++++=∈+b a c a c b c b a abc R c b a 求证：且、已知
（3）的最大值求且设2
32132
21321,1,0x x x x x x x x x x i +=++>
练习1、的最大值求且已知232323,1,,,+++++=++∈+c b a c b a R c b a
练习2、当a >1,b >1,c >1时，
121
112
22≥-+-+-a c c b b a
练习3、)(3
1
,1,,,222333c b a c b a c b a R c b a ++≥++=++∈+求证且已知
练习4、,1,,,=++∈+
c b a R c b a 且已知 ()()()
81
1112
42424≥-+-+-a
a c c c
b b b a 求证：
练习5 、+∈R c b a ,,，且,2
3
≥++ca bc ab 求证：423333≥++c b a
练习6、1,0,,=>abc c b a ，求证：2
3
)(1)(1)(13
33≥+++++b a c a c b c b a。