平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在
给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心(baryce nter)
三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1 :
若G为ABC所在平面内一点，则G
是三角形的重心
证明：设BC中点为D，则2GD
GA GB GC 0 GA GB
GA 2GD,
这表明，G在中线AD上
同理可得G在中线BE,CF上
故G为ABC的重心
1 —. 若P 为 ABC 所在平面内 点，贝S PG
(PA PB 3 G 是ABC 的重心
PC)
- 1 — 证明：PG
(PA PB PC)
(PG
PA) (PG
PB) (PG PC) 0
GA GB GC 0
G 是ABC 的重心
二、垂心(orthocenter)
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3:
H 是ABC 的垂心
证明：HA HB HB HC HB
►
S-
HB AC 0 HB AC 同理，有 HA CB,HC AB 故H 为三角形垂心
若H 为ABC 所在平面内一点，则HA HB
HB HC HC HA
(HA
2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2
若H 为 ABC 所在平面内一点，贝U HA BC HB AC HC AB
H 是ABC 的垂心
2 2 2 2
HB CA 得,HA (HB HC)2 HB (HC HA)2
HB HC HC HA
同理可证得，HA HB HB HC HC HA 由结论3可知命题成立
三、外心(circumcenter)
三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。

用这个点 做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5:
若0是ABC 所在平面内一点，则
OA OB OC 0是ABC 的外心
证明：由外心定义可知 命题成立
2 2
证明：由HA BC 结论6:
若0是ABC 所在平面内一点，则
(OA OB) BA (OB OC) CB (OC OA) AC 0是ABC的外心
证明：(OA OB) BA (OA OB)(OA OB)
故O为ABC的外心
四、内心（incenter）
三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

即内切圆的
圆心。

结论7:
若P为ABC所在平面内一点，则
P是ABC的内心
___ F b 2
(O B OC) CB O B
2
■
OC
(OC OA) AC
___ , 2
OC
—.2
OC
—.2
OB
OB
—K 2
OB
OC
—.2
OC
OA2
OP OA OB
BA BC
2函
OC
CA
CA
CB
CB
0)
l°B2
AB AC
c
证明：记AB,AC 方向上的单位向量分别 为e 1,e 2
即P 在A 平分线上 同理可得，P 在B, C 的平分线上 故P 为ABC 的内心
若P 是 ABC 所在平面内一点，则 aPA bPB cPC 0 P 是ABC 的
内心
证明：不妨设PD PC
aPA bPB cPC 0 a(PD DA) b(PD DB) cPC 0
(a b c)PC (aDA bDB) 0 由于PC 与 DA, DB 不共线，则
DB
由角平分线定理，CD 是ACB 的平分线/ I 同理可得其他的两条也 是平分线 故P 是ABC 的内心
OP OA
AB AC
1
AB AC
AP
；
(e ； e 2)
由平行四边形法则知，（e ； e 2）在AB, AC 边夹角平分线上
a b
DA
c 0,aDA
bDB 0。