向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、典例分析
[例]已知点G 是ABC ∆内任意一点,点 M 是ABC ∆所在平面内一点.
（1）动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的_________.
(2)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA AB AC
λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ∆的__________.
（3）动点P 满足：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=B AC C MA MP sin sin λ，()0,λ∈+∞，则直线AG 一定通过ABC ∆的 .
(4)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C
λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ∆的__________.
(5)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C
λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ∆的__________.
(6)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC = ,则点G 的轨迹可能通过
ABC ∆的__________.
（7）⇔⋅=⋅=⋅GA GC GC GB GB GA G 为ABC ∆的___________.
（8）⇔=++G 是ABC ∆的___________.
（9
）==⇔G 为ABC ∆的___________.
三、练习：
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．2
3 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( )
A ．21
B ．0
C ．1
D ．2
1- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）
A ．0
B ．23
C ．45
D ．3
4 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=， 则实数m =
6．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+ 2
22AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB
→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形。