平面向量奔驰定理与三角
形四心
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平面向量奔驰定理与三角形四心
已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：
0=++•••OC S OB S OA S C B A
如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则
B
C
COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆
图1
=
OD BC DC OB +BC
BD
OC =C B B
S S
S +OB +C
B C S S S +OC
C
B A
COA BOA COD BOD COA COD BOA
BOD S S S S S S S S S S
S OA OD +=++==
= 图2
∴
C
B A S S S OD +-
=OA
∴C
B A S S S +-
OA =
C B B
S S S +OB +C
B C S S S +OC
∴0=++•••OC S OB S OA S C B A
O
A B
C
D
O
A B
C
推论:O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则
z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆
有此定理可得三角形四心向量式 1、O 是ABC ∆的重心
⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA
2、O 是ABC ∆的内心
⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b a
3、O 是ABC ∆的外心
⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC
C OB B OA A
4、O 是ABC ∆的垂心
⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A
证明：如图O 为三角形的垂心，DB
CD
B AD CD A ==
tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :
∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆
同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan
:=∆∆
∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
三角形“四心”的相关向量问题
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

● 与“重心”有关的向量问题
1． 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
2．已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足
（λ∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心
B ．重心
C ．外心
D ．垂心
● 与“垂心”有关的向量问题
4.P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
5.已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，
则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
6.若H 为ABC △所在平面内一点，且2
2
2
2
2
2
HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的( )
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
● 与“内心”有关的向量问题
7.已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
=OP OA +λ
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+AC AC AB AB ，(0)λ∈+∞，
，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )． A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心 8.
若
O
在
△ABC
所在
的
平
面
内
：
=
，则O 是△ABC
的（ ） A ．垂心
B ．重心
C ．内心
D ．外心
● 与“外心”有关的向量问题
9.已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
10.已知O 是平面上的一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2
cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )。

A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心。