讲义---平面向量与三角形四心的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合
（1）⇔=++O 是ABC ∆的重心.
证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O
⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33
321
321y y y y x x x x ⇔O 是ABC
∆的重心.
证法2：如图
[
OC OB OA ++
2=+=
∴2=
∴D O A 、、三点共线，且O 分AD
为2：1
∴O 是ABC ∆的重心
（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB
OA O 为ABC ∆的垂心.
证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂
足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC
OB OB OA
AC OB ⊥⇔
同理⊥，⊥
⇔O 为ABC ∆的垂心 :
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心
O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.
证明：b
c 、
分别为
方向上的单位向量，
∴
b
c +平分BAC ∠,
(
λ=∴b
c +)，令c
b a bc
++=
λ
∴
c
b a bc
++=
（b c +)
化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a
B
C
D
∴=++c b a
（
4
==⇔O 为ABC ∆的外心。

三、典型例题：
例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，
[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
^
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
例2：（03
全国理4）
O
是平面上一定点，
C
B A 、、是平面上不共线的三个点，动点
P
满
足
+
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
例3
：1)
O
是平面上一定点，
C
B A 、、是平面上不共线的三个点，动点
P
满
足
+
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
2)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
)||sin ||sin AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
3)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
()2||cos ||cos OB OC AB AC
OP AB B AC C
λ+=
++, [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
？
例4、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：
123PP P △是正三角形．
例5、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，
两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．
例6、点
O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（
）．
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点
例7
在△ABC 内求一点P ，使
222AP BP CP ++最小．
；
例8已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2
22222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为
△ABC 的
心．
例9．.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
例10 已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+=22||||OC AB +，则O 点是
△ABC 的( )
A. 垂心
B. 重心
C. 内心
D. 外心
例11已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅=()OB OC BC +⋅=()OC OA CA +⋅= 0，则O
点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
例12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= 0，则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
)
例13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPC PO a b c
++=
++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，
则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
四、配套练习：
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P
，满足
=++，若实数
λ
满足：
λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．
2
3
C ．3
D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )
A ．
21 B ．0 C ．1 D ．2
1- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA
，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）
A ．0
B ．
23 C ．45 D ．3
4
4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OH
++=，则H 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
…
5．O 是平面上一定点，
C B A 、、是平面上不共线的三个点，若2
22OB
BC OA =+
2
22+=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，
则实数m =
7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·=1
2
, 则△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形 8．已知ABC ∆三个顶点
C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2
，则ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形
9.已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++, [0,)λ∈+∞.
则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
10.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心 11.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1
()3
PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心。