对数与对数运算第一课时教案
课题:2.2.1对数与对数运算
教学目标：
（一）知识目标
（1）理解对数的概念；
（2）了解自然对数和常用对数；
（3）掌握对数式与指数式的互化；
（4）对数的基本性质.
（二）能力目标
（1）能用对数解决生活中的实际问题；
（2）培养学生应用数学的能力、归纳能力.
（三）情感目标
（1）激发学生学习数学的热情；
（2）认识事物的相互联系和相互转化．
教学重点：对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化.
教学难点：对数概念的理解．
教学方法：讲解法，探究法，讨论法等．
教学准备(教具)：彩色粉笔.
课型：新授课.
教学过程
（一）引入课题
在2.1.2节例8中我们得到一个关系式13 1.01x
y=⨯，其中x表示的是经过的年数，y表示的是那年的人口总数.我们可以看到利用这个关系式可以算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问哪一年的人口总数能达到18亿、20亿、30亿呢？
上述问题实际上就是从18
1.01
13
x
=，
20
1.01
13
x
=，
30
1.01
13
x
=，…中分别求出x，（即
已知底数和幂的值，求指数）那么x的值会是多少呢？是否有那么一种运算用底数和幂值来表示指数呢? 为了回答这个问题我们今天一起来学习本节课的新内容——对数与对数运算.
（二）讲授新课 1、对数定义
一般地，如果x a N = (01a a >≠且)，那么x 就叫做以a 为底N 的对数，记作
log a x N =，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式.
从上述定义要知道对数的记法为：log a N ； 读作：以a 为底N 的对数.
例如：4
2log 16=，读作2是以4为底16的对数(或
以4为底16的对数是2).
41
log 22
=，读作12
是以4为底2的对数(或以4为底2的对数是12
).
1.01
18log 13
x =，读作x 是以1.01为底1813
的对数(或以1.01
为底1813
的对数是x ). 12
5log a =，读作5是以
1
2为底a 的对数（或以12
为底a 的对数是5）.
1
4log 81
b
=，读作4是以b 为底1
81的对数（或以b 为底
1
81
的对数是4）.
2、两种特殊的对数
常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，并把10log N 记作lg N ． 自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数叫自然对数，并把log N e 记作ln N ．
3、对数与指数间的关系
从某种意义上来说，对数就是一种记号，用底和幂表示对应的指数的记号，也就是指数式x a N =的另一种等价表示形式.即当01a
a >≠且
log x a a N x N =⇔=
指数式 ⇔ 对数式
幂底数 ←a → 对数底数 指 数 ←x → 对数 幂 ←N → 真数
既然它们之间的关系是等价的，说明指数式里满足的条件，在对数式里同样成立. 比如： ○1底数的限制：01a a >≠且；
②真数的限制：0N >．
③注意对数的书写格式.
4、对数的基本性质
提问：是不是所有的实数都有对数呢？
我们借助指数函数来研究，x y a =中a ＞0且a ≠1，那么y 是恒大于零的，所以在对数中，真数也是大于零的，那么就得出性质：
①零和负数没有对数即：N >0.
根据指数函数图像，它是恒过一个定点（0，1）的，所以根据指数与对数的关系，得出相应的对数性质:（
a
=1 ，a 1=a 如何转化为对数式学
生思考）
②a ＞0且a ≠1,01log 10a a =⇔= .（即1的对数是0） 还有一个特别的指数，根据指数与对数的关系，得： ③a ＞0且a ≠1,1log 1a a a a =⇔= .（即底数的对数是1） 根据对数的定义
，log a N
a
=？ ④对数恒等式：log N
a a N
=；log
n a a
n
=
小结：在此我还要强调一下，x a N =和x =log a N 表示的是一种关系，只是它们是一种关系的不同表达式，x a N =是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们
是一回事.
（三）例题讲解
相信大家对对数有了一定的了解，是否真正掌握了呢？下面就做一下练习测试一下.
例1 求下列各式中x 的取值范围
（1）2log (10)x - （2）(1)log (2)x x -+ （3）2(1)log (1)x x +- 解：（1）由题意得100,10x x ->∴>
（2）由题意得201011x x x 且+>⎧⎨->-≠⎩，即212x x x 且>-⎧⎨>-≠⎩，12x x 且∴>≠
（3）由题意得2(1)0
1011
x x x 且⎧->⎨+>+≠⎩，解得10,1x x x 且>-≠≠
小结 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
例2（P 63例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54=645 （2）61264-= （3）1
() 5.733
m =
（4）12
log 164=- （5）lg 0.012=- （6）ln10 2.303=
解：（略）
课题练习：教材64页练习1、2题.
例3 求下列各式中x 的值
（1）642
log 3x =- （2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -=
（5）23x =
分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：（1）因为642log 3
x =-，所以2223()3
23331(64)(4)4416x --⋅--=====；
（2）因为log 86x =，所以6
8,
x =又0x >，1
1136
62
(8)
(2)2x 所以====
（3）因为lg100x =，所以21010010,2x x ===于是； （4）222ln ,ln ,e x x e e -=-==-x 由得即e
所以2x =-
（5）由23x =得2log 3x = 课堂练习：教材64页练习3、4题.
（备用例题 ）
例4 求下列各式中x 的值
（1）()24log log 0x = （2）()3log lg 1x = （3）312log 09x -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
解 （1）()01244log log 0,log 21,44x x x =∴==∴== （2）()133log lg 1,lg 33,101000x x x =∴==∴== （3）由已知可得：
1219
x
-=，即129x -=，解得4x =- 例5 已知32log 2,log 3,x y a a x y a 则的值为+==？
解 由log 2a x =知：2x a =；由log 3a y =知3y a = 故()()3
2
3232238972x y x y a a a +=⋅=⋅=⨯=
(四）归纳小结
对数与指数间的关系；对数的基本性质. (五）作业
1.必做P74 习题（A ）第1、2题.
2.复习这节所学的新知识.
3.预习下一节课的内容. 板书设计。