《现代数字信号处理》试题
一、计算题
（1）已知曲线 ()()(),()C p x p y p =的曲率可表达为
()
3
222
p pp pp p
p
p x y x y x
y κ-=
+
a. 求椭圆 ()(cos ,sin )C a b θθθ=当0θ=和
2
π
时的曲率。

答案：223/222223/2
2222223/222
sin ;cos ;()(sin cos )cos ;sin ;sin cos /(sin cos );0/;/2/x a y b x y a b x a y b x y x y ab ab ab
ab a b a b b a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθκθθθκθπκ=-=+=+=-=--=+==+=⇒==⇒=
b. 试求抛物线2
y ax =，当0x =时的曲率。

答案：2223/2
223/2
223/2
223/2()(,);1;2;()(14)0;2;
()/()2/(14);02x x x x xx xx x xx xx x x x C x x ax x y ax x y a x x y a x y x y x y a a x x a
κκ===+=+==⇒=-+=+=⇒=
c ．试求椭圆
2222
1x y a b += 在(0,)b 和(,0)a -两点的曲率各为多少？ d.已知三次曲线32
211,432y ax bx cx d b ac =
+++>式中，
求在y 取局部极值时的曲率。

答案： 由
2
1,
0;
,
2;
x xx x xx x x y ax bx c y ax b ===++=+
再由2
1,20x y ax bx c x =++=⇒=代入公式，得
(
)
1,23
22
2
x xx xx x
x
x
x y x y x
y κ-=
=+（2）
a. 若一数字图像的灰度直方图如下图所示，试画出其累积直方图。

b ．若一连续图像的面积函数如下图所示，试画出其直方图。

(3)
a.假设有一连续图像的灰度可表达为
2
2
002
2()()(,)exp([
])x y
x x y y I x y σσ--=-+
写出灰度值为0.5的水平集的数学表达式，并画出此水平集的草图。

b. 若一图象的灰度值可表达为
(,)I x y =式中00,,x y a 为常数(0)a >。

求此图像的梯度模值。

二、问答题
(1)
a. 什么叫做迎风差分格式？试就二维演化问题
00,(,,0)(,)u
u u x y u x y t
β∂+∇==∂ 写出利用迎风差分格式求解的显式数值方案。

b. 什么是测地线活动轮廓（GAC ）模型？试写出这一模型应用于单值图像的分割问题的显式方案的主要步骤？ (2)
a. 什么是灰度图像的方向扩散？它与灰度图像的中值滤波有什么关系？
b. 什么是灰度图像的“自蛇”模型？它与灰度图像的方向扩散有什么关系？ (3)
a 、什么是非线性扩散的P_M 方程和正则化的P_M 方程？试写出求解P_M 方程的显式数值方案和半隐式数值方案的表达式。

b 、什么是张量扩散方程？试说明利用张量扩散进行灰度图象相干性增强得主要步骤。

(4)
a. 简要说明将测地线活动轮廓（GAC ）模型推广到矢量图像的基本思路。

它的PDE 是怎样的？
b. 矢量图像的方向扩散的PDE 是怎样定义的？为什么说它是一组耦合的PDE ？
（5）
a. 什么是灰度图象的水平集分解和重构？它们在图象处理中有何意义？
b. 灰度图象的水平集是如何定义的？它的基本性质是什么？
三 推导证明题
（1）
a. 对于矢量图像
(1)(2)()(,,...,)m I I I I =
试推导矩阵
()
()
()()
2()()()1
111122
()()
()12
22
1
1
m
m
i i i x
x y
i i m
m i i i y y
y
i i I I
I
j j J j j I
I
I =====
=
∑∑∑∑
的本征值1λ、2λ和对应的本征矢1ν
、2ν
的数学表达式并说明它们的物理意义。

b. 灰度图像(,)I x y 的散布矩阵的定义为
2
11122
1222
(
)*(
)*()*()*I I I G G j j x y
x
J I I
j j I G G x y
y
σσ
σρ
ρρσσσρρ∂∂∂∂∂∂=
=∂∂∂∂∂∂
试推导它的本征值1λ、2λ和对应的本征矢1ν 、2ν
的数学表达式并说明它们的物理意义。

(2)
a. 试推导对应于()E u u dxdy Ω
=
∇⎰⎰
的Euler 方程。

答案：2222
22322
2||()/||||()||||||||();
||||
()()()0||||||
x y
x x y x x x x x y
y y y x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u d d u div dx u dy u u +∇-+∇∇∂===∂∇∇∇∇+∂=∂∇∇∇+==∇∇∇
b.试推导对应于2
1()(1)2
E u u dxdy Ω=
∇-⎰⎰的梯度下降流。

答案：
2111
(1)(1)(1);(1);21()()((1))()()x x y x x y x y u F F u u u u u u u u u u d F d F u div u u div dx u dy u u u
u u
u div t u
∂∂∂=∇-=∇-=-=-∂∂∇∇∂∇∂∂∇+=-∇=∆-∂∂∇∇∂∇⇒
=∆-∂∇
(3)
a. 证明矩阵
22x x y x y
y
I I I J I I I
=
具有唯一非零本征值2
I ∇，它对应的本征矢为I I ∇∇。

答案：
22
2
||0
()||(
)||||00x
x y
T
T
x y
y
I I I I I I I I I I I I I ∇∇∇=∇∇=∇∇
b. 若已知张量扩散矩阵
a b D b c
=
的本征值为1λ和2λ及其对应的本征矢1(cos ,sin );νθθ= 2
(sin ,cos )νθθ=-
，
推导a,b,c 的表达式
答案：
2211122212
222212122212cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin ()sin cos sin cos T T
D v v v v a b c θθθθθθμμμμθ
θ
θθ
θθ
μθμθμμθθμθμθ
-=+=+-⇒
=+=-=+
(4)
a. 已知用于图像非线性滤波的“自蛇”模型为
()
I
I
I div g I t I
⎛⎫∂∇=∇∇ ⎪ ⎪∂∇⎝
⎭
试证明它可表示为两种滤波器--非线性扩散和冲击滤波--的组合。

答案: ()()();||;diff shock diff shock I I I
I div g I g I div g I t I I I F F F g I F g I t
κ⎛⎫∂∇∇=∇∇=∇+∇∙∇ ⎪ ⎪∂∇∇⎝⎭∂⇒=+=∇=∇∙∇∂ b. 证明曲线C 的Euclidean 不变流22C C
t s
∂∂=∂∂等价于曲线的平均曲率运动（MCM ）。

答案: 22()C C C
T N N s s s s t
κκ∂∂∂∂∂=
==⇒=∂∂∂∂∂ （5）推导正则化P-M 方程
(())I
div g I I t
σ∂=∇∇∂ 的半隐式方案的表达式（要求写明离散化过程）。

再将它改写成矢量——矩阵表达式（要求说明式中说使用的各符号的含义。

（6）若平面曲线C 按如下方程式演化
C V T N t
αβ∂==+∂
式中,T N
分别表示C 的切矢量和法矢量，试证明，就C 的几何形状的变化而言，它与方程
式
C
N t
β∂=∂ 是等价的。

a. 写出二维Laplace 算子的中心差分离散化格式。

b. 写出散度算子()u
div u
∇∇的“半点”离散化格式。