第六章 梁的位移及简单超静定梁内容提要一、平面弯曲时梁的变形与位移Ⅰ、梁的变形1. 挠曲线 平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的11AC B 。

2. 弯曲变形 以挠曲线(中性层)的曲率表示梁弯曲变形程度，曲率与弯矩间的关系为()()1zM x x EI ρ=-(6—1) 式中，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度，(6-1)式右端的负号，是因为在图(6-1)所示坐标系中，y 向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。

(6-1)是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，弯矩为常量，曲率为常量，挠曲线为一段圆弧线。

横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率和弯矩均为x 的函数，曲率与弯矩成正比。

Ⅱ、梁的位移1. 挠度 横截面在垂直于原轴线方向的位移，称为挠度，用w 表示。

表示挠度随横截面位置x 变化规律的方程为挠度(或挠曲线)方程 在图6-1所示坐标系中，w 向下为正，向上为负。

2. 转角 横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用θ表示。

在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角θ也为x 轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。

(图6-1)，在图6-1所坐标系中，θ以顺时针转向为正，反之为负。

在小变形的情况下，转角θ等于挠曲线在该点处的斜率，即 Ⅲ、变形与位移变形与位移是两个不同的概念，但它们又互相联系。

梁的变形(曲率)仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。

二、挠曲线的近似微分方程及其积分Ⅰ、挠曲线的近似微分方程平面曲线在直角坐标系中曲率公式为在小变形时，()211w x '+≈，于是将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为()()M x w x EI''=-()()EIw x M x ''=-或 (6—2) Ⅱ、通过积分求梁的位移等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得 再积分一次得式中，1C 和2C 为积分常数，由梁的位移边界条件确定。

当梁上的弯矩需要分段列出时，挠曲线的近似微分方程也应分段建立，分别积分两次后，每一段有两个积分常数，确定积分常数除了应用位移边界条件外，还需应用位移连续条件。

为了简化计算，在运算中需要采取一些技巧(见教材例7-2)。

三、用叠加法计算梁的位移Ⅰ、叠加原理 在线弹性范围内，小变形情况下，梁在若干个荷载共同作用下任一横截面的位移，等于梁在各个荷载单独作用下的位移之和。

Ⅱ、要求 利用梁在简单荷载作用下的位移值(见教材表7-1)，确定梁在若干个荷载共同作用下的位移值。

叠加法计算梁的位移是本章的重点和难点，要求熟记表7-1的结果，并通过作练习题，掌握利用叠加法计算梁位移的技巧。

四、梁的刚度条件 提高梁刚度的措施Ⅰ、刚度条件梁的刚度条件为梁的最大挠度与跨长的比值不得超过规定的许可值，梁指定截面的转角不得超过规定的许可值，即max w w L L ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，[]max θθ≤ (6—3) Ⅱ、提高梁刚度的措施1. 增大梁的弯曲刚度EI 。

选择适当的截面形状，增加截面对中性轴的惯性矩。

2 . 减小梁的跨度或增加支承。

五、弯曲应变能等直梁平面弯曲时，在弹性变形过程中梁内所积蓄的能量，称为弯曲应变能，纯弯曲和横力弯曲时的应变能分别为2 M LV EI ε=，()2l zM x V dx EI ε=⎰ (6—4)本章只需掌握弯曲应变能的概念，其应用将放在能量方法一章中。

六、超静定梁Ⅰ、超静定的概念梁的约束反力数目超过了平衡方程式的数目，这种梁称为超静定梁。

多于维持平衡所必要的约束，称为多余约束，相应的约束反力为多余未知力，多余约束数目或多余未知力数目为超静定次数。

Ⅱ、超静定梁的解法解除多余约束使梁成为静定梁，此梁称为原超静定梁的基本系统 (或称为静定基)。

基本系统在荷载及多余未知力作用下，满足多余约束所提供的位移条件。

这样的静定梁称为原超静梁的相当系统，求出多余未知力后，利用相当系统来完成对原超静定梁的一切计算。

例6-1 用积分法计算图示各梁的位移时，各需分几段列挠曲线的近似微分方程？各有几个积分常数？并写出其确定积分常数的位移边界和连续条件。

解：图a 分AC 、CB 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。

位移边界条件为位移连续条件为2x l =时，12C C w w =，12C C θθ=图b 分AB 、BC 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。

位移边界条件为 位移连续条件为x l =时，12B B w w =，12B B θθ=图c 只需列AB 段挠曲线的近似微分方程，共有两个积分常数。

位移边界条件为图d 分AB 、BC 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。

位移边界条件为0x =时，0A w =，0A θ=位移连续条件为2x l =时，12B B w w =，12B B θθ=图e 分AB 、BC 和CD 三段列挠曲线的近似微分方程，共有六个积分常数。

位移边界条件为0x =时，0A w =，0A θ=位移连续条件为2x l =时，23C C w w =，23C C θθ=中间铰B 处，挠曲线连续但不光滑，即中间铰两侧面的挠度相同，但转角不等()12B B θθ≠。

例6-2 试绘出图示各梁挠曲线的大致形状。

解：绘制挠曲线大致形状的步骤为：首先绘制弯矩图，弯矩为正的区段，挠曲线为下凸曲线；弯矩为负的区段挠曲为上凸曲线，弯矩等于零的区段，挠曲线为直线段。

弯矩等于零的点处，且其左右两侧的弯矩异号，或弯矩有突变的点处，且其左右两侧的弯矩异号，挠曲线上有拐点。

弯矩值大的地方挠曲线的曲率就大些，弯矩值小的地方挠曲的曲率小些。

再根据固定端处的挠度和转角均等于零；铰支座处挠度等于零，转角不等于零；中间铰两侧面处挠度连续，转角不连续，挠曲线上出现折角。

以及位移连续条件可绘出挠曲的大致形状。

各梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状分别如各图中所示。

例6-3 简支梁的荷载如图所示，弯曲刚度为EI 。

试用积分法求A θ、B θ和max w 。

解：方法1梁的挠曲线如图a 所示，由对称性知，A B θθ=-，0C θ=，max C w w =。

梁的支反力14A B o F F q l ==。

可取AC 部分进行分析。

图b ()2o qq x x l=()42213122o q EIw x x l x C l ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(1) ()52312111252o q EIw x x l x C x C l ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭(2) 由 2l x = 0w '= ，得 315192q l C =0x = 0w = ，得 20C =转角方程和挠曲线方程分别为方法2 取图c 为研究对象。

分AC 、CB 两段列挠曲线的近似微分方程，积分后共有4个积分常数，确定积分常数的位移连续条件为2x l =，12w w ''=，12w w =；位移边界条件为 0x =，10w =；x l =，20w =。

读者可自行完成其具体计算。

例6-4 梁的弯曲刚度为EI ，已知其挠曲线方程为试求：1. 梁的最大弯矩及最大剪力；2. 梁的荷载及支承情况。

解：1. 求()M x 、()s F x 和()q x 。

由()()M x EIw x ''=-，得()()2306q M x l x x l =- (1) ()()()22036s dM x q F x l x dx l==- (2)()()0 s dF x xq x q dx l==- (3) 2. 求max M 。

max M 可能发生在0x =、x l =处，以及()()0s dM x F x dx==处。

由(2)式， ()()200030 6s q F x l x l=-= 得0x = 由(1)式，得 故max M发生在3x =处。

3. 求,max s F 。

,max s F 可能发生0x =、x l =处，以及()()0dF x q x dx==处。

由(3)式可见 ()0q x =时 0x =，该处s F 有极值。

由(2)式，得 故maxsF 发生在x l =的边界处。

4. 梁的荷载及支座情况。

由()o xq x q l=-，知荷载为沿梁的长度线性分布，其方向向下。

0x =，()00q =；x l =，()o q l q =-。

由 0x =，()06s q l F x =，()00M =；x l =，()03s q lF l =-，()0M l = 故 0x = 和 x l =均为铰支座。

梁的荷载及支座情况如图a 所示，s F 图和M 图分别如图(b)和图(c)所示。

例6-5 等截面悬臂梁下面有3y Ax =-的曲面。

欲使梁变形后与该曲面密合(曲面不受力)，试求梁上的荷载，梁的弯曲刚度为EI 。

解：在图示坐标系中，()3w x y Ax ==-，挠曲线的近似微分方程为 ()()EIw x M x ''=，梁的弯矩方程为()()6M x EIw x AEIx ''==- (1)剪力方程为()()6s dM x F x AEI dx==- (2) 当在梁的自由端加向上的集中6F AEI =，满足剪力方程(2)，要满足弯矩方程(1)，梁上还应加集中力偶e M 作用，使得 6e M AEIl =-即在梁的自由端加一顺时针转的力偶6e M AEIl =。

故梁的荷载有，在自由端有向上的集中力6F AEI =和顺时转的力偶6e M AEIl =，如图b 所示。

例6-6 图a 所示悬臂梁，其弯曲刚度为EI 。

试用叠加法分别求B 、C 截面的转角和挠度。

解：1. 用图b 所示的分解图式求B 、C 截面的位移。

B 截面的位移是由AB 的变形产生的，与变形无关，将BC 段的荷载向B 截面简化如图b 该梁AB 段的受力情况和原梁相同，故有 C 截面的位移是由AB 段B 截面的位移和变形共同产生的，由AB 段B 面的位移为 由于BC 段的变形产生的C 截面的位移为故 333766C qa qa qa EI EI EI θ=+=()↓ 2. 用图c 所示分解图式求C 截面的位移图c 中梁的受力情况和原梁相同，故有 讨论：当不能直接利用教材中表7-1的结果计算梁的位移时，首先对梁的位移进行分段分析，利用相当力系代替原力系，保持受力情况(包括约束反力)与原梁相同，把原梁分解成可利用表7-1进行计算的几种形式，再利用叠加法。

例6-7 求图a 所示外伸梁C 截面的挠度和D 截面的转角和挠度，梁的弯曲刚度为EI 。