专题七解析几何
解析几何问题重在“设”——设点、设线
解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．因此，在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．
【典例】 已知抛物线C ：y 2
＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．
(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
[解题示范] 由题设F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0．
设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0❶
，
且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2
2，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12
，a ＋b 2． 记过A ，B 两点的直线为l ， 则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0． (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0． 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则
k 1＝
a －
b 1＋a 2＝a －b a 2
－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0
－12－
1
2
＝k 2． 所以AR ∥FQ ．
(2)解：设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)❷
， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－1
2
|，
S △PQF ＝
|a －b |
2
． 由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |
2，
所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1．
设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )❸
． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y
x －1
(x ≠1)． 而
a ＋b
2
＝y ，所以y 2
＝x －1(x ≠1)．
当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E (1,0)满足方程y 2
＝x －1． 所以所求轨迹方程为y 2
＝x －1．
❶设线：设出直线l 1，l 2可表示出点A ，B ，P ，Q ，R 的坐标，进而可表示过A ，B 两点的直线方程
❷设点：设出直线l 与x 轴交点，可表示出|DF |，进而表示出S △ABF ，根据面积关系，可求得此点坐标
❸设点：要求此点的轨迹方程，先设出此点，根据题目条件得出此点坐标的关系式，即轨迹方程
解决解析几何问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维，反映在解题上，就是把曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质．。