培优点九 线性规划1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】不等式组对应的可行域如图所示： 由当动直线322zy x =-过()2,0时，z 取最小值为6，故选C ． 2．目标函数为二次式例2：若变量x ，y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）A 10B ．7C ．9D ．10【答案】D【解析】目标函数22z x y =+可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域， 观察可得最远的点为()1,3B -，所以2max 10z OB ==．3．目标函数为分式例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】所求11y s x +=+可视为点(),x y 与定点()1,1--连线的斜率． 从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可， 可得在()1,0处的斜率最小，即()()min 011112k --==--，在()0,1处的斜率最大，为()()max 11201k --==--，结合图像可得11y s x +=+的范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ． 4．面积问题例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A ．73B ．37C ．173-D ．317-【答案】C【解析】在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线4y kx =+为绕定点()0,4的一条动直线， 设直线交AC 于M ，若将三角形分为面积相等的两部分，则ABM BCM S S =△△， 观察可得两个三角形高相等，所以AM MC =，即M 为AC 中点，联立直线方程可求得40,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,1C ，则17,26M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入直线方程可解得173k =-．一、单选题1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】B【解析】由图可知，可行域为封闭的三角区域， 由z x y =-在y 轴上的截距越小，目标函数值越大， 所以最优解为()1,0，所以z 的最大值为1，故选B ．对点增分集训2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（ ）A ．94B ．274C ．9D ．272【答案】B【解析】满足约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，如图所示：可知14x ≤≤范围扩大，实际只有03x ≤≤，其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为132733224S ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭．故选B ．3．已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x ay =-只在点()43,处取得最大值，则a 的取值范围是（ ） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞, C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩作可行域如图，联立221x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得()43C ,,当0a =时，目标函数化为z x =， 由图可知，可行解()43,使z x ay =-取得最大值，符合题意； 当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0， 当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()43,为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()43,为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解， 则10a<，即0a <．综上，实数a 的取值范围是()1-∞,．故选C ． 4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（ ）A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,, D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,, 【答案】C【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示， 由题意得()22A ,，()24B -,． 由5x z y -=得105y z x -=-， 所以1z可看作点()x y ,和()50P ,连线的斜率，记为k ， 由图形可得PA PB k k k ≤≤，又202253PA k -==--，404253PB k --==-，所以2433k -≤≤， 因此32z ≤-或34z ≥，所以5x z y -=的取值范围为3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,,．故选C ． 5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（ ）A 10B ．4C ．9D ．10【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图：∵()03A -,，()02C ,，∴OA OC >， 联立2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得()31B -,， 22x y +的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值()2223110OB =+-=．故选D ．6．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ ）A 2B ．1C ．22D 5【答案】C【解析】作出可行域如图：观察图象可知，AP 最小距离为点A 到直线20x y +-=的距离， 即max 1222211AP +-==+，故选C ． 7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ） A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【答案】D【解析】由题意作出约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距， 由题意可得，y ax z =+与22y x =+或与2y x =-平行， 故2a =或1-；故选D ．8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则215y x ≤+成立的概率为（ ） A ．1556B ．1116 C ．58D ．38【答案】A【解析】作出不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示：因为()011y y x x -=+--表示点(),P x y 与定点()1,0-连线的斜率，所以215y x ≤+成立的点(),P x y 只能在图中ADE △的内部（含边界）， 所以由几何概型得：215y x ≤+成立的概率为ADE ABC S S △△，由104x y x +-=⎧⎨=⎩，得()40A ,，由2104x y x -+=⎧⎨=⎩，得()44B ,， 由40240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得4833C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，由()21510y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩，解得181077D ⎛⎫⎪⎝⎭,，由()2154y x x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得()42E ,，所以141644233ABC S =-⨯=△，1181042277ADE S =⨯-⨯=△， 所以215y x ≤+成立的概率为1015716563ADEABC S S ==△△，故选A ． 9．若x ，y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．265D ．4【答案】C【解析】画出可行城如图所示， 目标函数可化为1322zy x =--+，共图象是对称轴为3x =的两条射线， 由3 5100x x y =⎧⎨-+=⎩得2z 取得最小值时的最优解为3135x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．即min 132633255z =-+⨯=．故选C ． 10．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A 的坐标为)2,1．则z OM OA =⋅的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．4D ．3【答案】C【解析】如图所示：2z OM OA x y =⋅=+，即2y x z =-+，首先做出直线0l ：2y x =，将0l 平行移动， 当经过B 点时在y 轴上的截距最大，从而z 最大． 因为()2,2B，故z 的最大值为4．故选C ．11．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(],1-∞- C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞【答案】B【解析】作出不等式20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，可行域如图：∵平面区域内存在点()00,M x y ，满足0020x ay ++≤，∴直线20x ay ++=与可行域有交点，解方程组205100x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得()02B ,． ∴点B 在直线20x ay ++=下方．可得0220a ++≤．解得1a ≤-．故选B ．12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x轴相切，则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（ ） A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心(),C a b ，半径为1， 因为圆C 与x 轴相切，所以1b =，直线1y =分别与直线60x y +-=与40x y -+=交于点()51B ,，()3,1A -， 所以35a -≤≤，圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率为8722b k a a -==---， 当32a -≤<时，7,5k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；当25a <≤时7,3k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；所以圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选A ． 二、填空题13．设x ，y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =++的最大值为____________．【答案】13【解析】如图，作出可行域（图中阴影部分），目标函数21z x y =++在点()2,5A 取得最大值13．故答案为13．14．若变量x ，y 满足约束条件210220x x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为_________．【答案】1【解析】作可行域，()0,1A ，22z x y =+表示可行域内点P 到坐标原点距离的平方， 由图可得22z x y =+最小值为21OA =．15．已知实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为______．【答案】4【解析】由实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，联立11x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得()10A ,，2222x y y x x +++=+，其几何意义为可行域内的动点与定点()02P -,连线的斜率加2． ∵0221PA k +==，∴22x y x++的最小值为4．故答案为4．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万． 【答案】22.【解析】设本地养鱼场平均年利润1ξ，远洋捕捞队平均平均年利润2ξ； 101020304050403E ξ=-⨯+⨯+⨯=．．．．．．．，20607002020104E ξ=⨯+⨯-⨯=．．．．．．；设本地养鱼场投x 千万元，远洋捕捞队投y 千万元， 则利润之和0304z x y =+．．，6200x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩,，如图，当目标函数经过点()24B ,时利润最大，03204422z =⨯+⨯=．．．千万元．。