相量图：
30° 23.1° 60°
I2
I
阻抗的定义
定义无源二端网络端口电压相量和端口电 流相量的比值为该无源二端网络的阻抗， 并用符号Z表示，即：
Um Z Im
I
+
无源 二端 网络 无源二端网络
I
或
U Z I
U －
(a)
+
U －
(b)
Z
等效电路
2.3 单一参数的正弦交流电路
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为 区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“· ”。
例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
I m 14.1/ 36.9A


其有效值相量为：I 10/ 36.9A 由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
(1)瞬时值 正弦量随时间按正弦规律变化，对应各个时刻的数 值称为瞬时值，瞬时值是用正弦解析式表示的，即： u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
瞬时值是变量，注意要用小写英文字母表示。瞬时值 对应的表达式应是三角函数解析式。 (2)最大值 正弦量振荡的最高点称为最 大值，用Um(或Im)表示。
正弦量的相量图表示法
按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线 段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
， 已知两正弦量 u1 2U 1 sin t 1 ，u 2 2U 2 sin t 2
把它们表示为相量后画在相量图中。
两电压的有效值相量为 U 1 U 1 1 , U 2 U 2 2 画在相量图中： 熟练后可直接画作
利用相量图辅助分析， 根据平行四边形法则， 由相 U 量图可以清楚地看出： 根据直角三角 U1sinψ1+U2sinψ2 形的勾股弦定理： U2
U (U1 cos 1 U 2 cos 2 ) 2 (U1 sin 1 U 2 sin 2 ) 2
2 U1
1
夹角φ arctan
1秒钟
f=2Hz
单位是赫兹
T=0.5s
单位是秒
正弦量一秒钟内经历的循环数称为频率，用f 表示。
正弦量变化一个循环所需要的时间称周期，用T表示。
正弦量一秒钟内经历的弧度数称为角频率，用ω表示。
显然 2 2f T
三者是从不同的角度反映的 同一个问题：正弦量随时间变 化的快慢程度。
2. 正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
Um
(3)有效值 有效值是指与正弦量热效应相同的直流电数值。
i R I R
交流电流i 通过电阻R时，在 t 时间内产生的热量为Q；
直流电流I通过相同电阻R时， 在t 时间内产生的热量也为Q。
两电流热效应相同，可理解为二者做功能力相等。我 们把做功能力相等的直流电的数值I定义为相应交流电i 的有效值。有效值可确切地反映正弦交流电的大小。 有效值是根据热效应相同的直流电数值而得，因此引 用直流电的符号，即有效值用U或I表示。 理论和实践都可以证明，正弦交流电的有效值和最大 值之间具有特定的数量关系，即：
u u1 u2 u3
不能！因为180V的正弦交流 电，其最大值≈255V >180V!
u4
u1与u2反相，即相位差为180°； ωt u3超前u190°，或说u1滞后u390°， 二者为正交的相位关系。
u1与u4同相，即相位差为零。
2.2 正弦交流电的相量法
相量特指与正弦量具有一一对应关系的复数。如： u j 复数座标 u U m sin t
U Um 0.707U m， I m 2 2 I 1.414 I
3. 正弦交流电的相位、初相和相位差
(1)相位
u U m sin(t u ) u U m sin(t u )
相位是随时间变 化的电角度，是 时间t 的函数。
显然，相位反映了正弦量随时间变化的整个进程。 (2)初相 初相是对应 t =0时
i1 i2 i
I 2 8 60 4 j 6.928
I I1 I 2 (5.196 j 3) (4 j 6.928) 9.296 j 3.928 10 23.1A
i 10 2 sin(t 23.1)A
I1
等腰三角波
矩形脉冲波
正弦波
其中，大小和方向均随时间按正弦规律变化的电压或电 流称为正弦交流电。正弦交流电广泛应用于工农业生产、 科学研究及日常生活中，了解和掌握正弦交流电的特点， 学会正弦交流电路的基本分析方法，是本章学习的目的。
1. 正弦交流电的频率、周期和角频率
ω=4πrad/s
单位是 每秒弧度
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数 相乘、除时用极坐标形式比较方便。
+j
B 4
在复数运算当中，一定要根据复数所在象 限正确写出幅角的值。如：
A
A 3 j 4 第一象限 A 553.1 arctan
第二象限
4 3
-3 0
3 D
C
-4
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复 平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针 旋转90°。 ※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
ω
0
A

Um
1
正弦座标

正弦量的最大值对应复数A的模值； 正弦量的初相与复数A的幅角相对应； 正弦量的角频率对应复数A绕轴旋转的角速度ω； 显然，复数A就是正弦电压u 的相量。二者具有一一 对应关系。
0ห้องสมุดไป่ตู้
t
正弦量的相量是用复数表示的。因此学习相量法之前 应首先复习巩固一下有关复数的概念及其运算法则。 ＋j 复数A在复平面上是一个点； A 原点指向复数的箭头称为复数A a a2 的模值，用a表示； 模a与正向实轴之间的夹角称为复 ＋1 0 数A的幅角，用ψ表示； a1 A在实轴上的投影是它的实部数值a1； A在虚轴上的投影是它的虚部数值a2； 复数A用代数形式可表示为 A a1 ja 2 由图可得出复数A的模a和幅角ψ与实部、虚部的关系 为： a2 2 2 a a1 a 2 ， arctan a1
U1 sin 1 U 2 sin 2 U1 cos 1 U 2 cos 2
由相量与正弦量之间的对应关系最后得 u u1 u2 2U sin(t ) U1cosψ1+U2cosψ2
三角函数运算由几何分析运算所替代，化复杂为简单！
如何把代数 形式变换成 极坐标形式 ？ 极坐标形式又 如何化为代数 形式？
的确切电角度。
初相确定了正弦量计时始的位置，初相规定不得超过 ±180°。

正弦量与纵轴相交处若 在正半周，初相为正。
-
正弦量与纵轴相交处若 在负半周，初相为负。
(3)相位差
例 已知 u U m sin(t u ),
i I m sin(t i ) ，求
解
电压与电流之间的相位差。 u、i 的相位差为： (t u ) (t i ) t u t i u i
+j


U2
U2

2 1
U1
U1 1
2
0
1
选定某一个量为参考相量，另一个量 +1 则根据与参考量之间的相对位置画出。
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之 间的加、减运算及其电路分析。举例如下：
已知u1 2U1 sin t 1 ，u2 2U 2 sin t 2 ，求u u1 u2。
2 2
相量等于正弦量 的说法对吗？ 正弦量的解析式 和相量式之间能 用等号吗？
8 利用几何图形关系，如 6 j8 6 8 arctan 1053.1 6 利用三角函数关系，如 1053.1 10 cos 53.1 j10 sin 53.1
10 0.6 j10 0.8 6 j8
显然，两个同频率正弦量之间的相位之差，实际上等 于它们的初相之差。
注 意
不同频率的正弦量之间不存在相位差的概念。相位差 不得超过±180°!
思考 回答
何谓正弦量的三 要素？它们各反 映了什么？
耐压为220V的电容器 ，能否用在180V的正 弦交流电源上？
何谓反相？同相 ？相位正交？超 前？滞后？
正弦量的三要素是指它的最大值、 角频率和初相。最大值反映了正弦 量的大小及做功能力；角频率反映 了正弦量随时间变化的快慢程度； 初相确定了正弦量计时始的位置。
UI UI cos2t
p=UI-UIcos2 t UI
ωt
uip
u
0
i
－UIcos2 t
结论：1. p随时间变化；2. p≥0；耗能元件。
2)平均功率 P (有功功率)
由: p u i U m sin t I m sin t 平均功率用大写！ UI UI cos2t 可得瞬时功率在一个周期内的平均值: P = UI U2 把u i数量关系代入上式：P UI I 2 R R 求“220V、100W”和“220V、40W”两灯泡的电阻 。 U 2 220 2 U 2 220 2
设有两个复数分别为： a a a1 ja 2 A
B b b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时运算公式如下： A B (a1 b1 ) j (a2 b2 )
A B (a1 b1 ) j (a2 b2 ) A B ab a b A a a b B b