解: 由DFT的共轭对称性可知
x(n) X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k)
1 a N 1 bN F (k ) j k k 1 aWN 1 bWN
1 1 aN X (k ) Fep (k ) [ F (k ) F * ( N k )) 取主值 x((n m)) R (n) N N N 区间
时域循环移位定理
若
y(n) x((n m)) N RN (n)
Y (k ) DFT [ y (n)] WN mk X (k )
频域循环移位定理
如果X(k)=DFT[x(n)]N
ep312. m
%输入时域序列向量xn=R4(n)
%以下为绘图部分（省略，程序集中有）
图3.1.3 程序ep312.m 运行结果
ex312.m
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.2 循环移位性质
序列的循环移位
定义： y(n) x((n m)) N RN (n)
x ( n)
周期 延拓
n 0
3
kn 4
e
n 0
3
j
2π kn 4

1 e j2πk 1 e
7
j 2π k 4
k 0 4 0 k 1, 2,3
3 j 2π kn 8
设变换区间N=8，则
X (k ) x(n)W8kn e
n 0 n 0
e
3 j πk 8
π sin( k ) 2 π sin( k ) 8
z e
j 2 k N
, ,
0 k N-1 0 k N-1
X ( k ) X (e )
j
2 k N
X(k)是在z 平面单位圆上对X(z)的N点等间隔抽样。
X(k)是在 X (e j ) 对在 [0, 2 ) N点等间隔抽样。
频域抽样能 否不失真恢 复原连续信 号
所以，由X(k)可以求得两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT：
1 X 1 (k ) DFT [ x1 (n)] [ X (k ) X * ( N k )] 2
1 X 2 (k ) DFT[ x2 (n)] j [ X (k ) X * ( N k )] 2
2π cos m n N
n=0, 1, …, N－1
3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
X ( z ) ZT[ x(n)] x(n) z n
n 0 kn X (k ) DFT[ x(n)]N x(n)WN x(n)e n 0 n 0 M 1 M 1 j 2 kn N
x(n) x1 (n) jx2 (n)
对x(n)求DFT得到：
X (k ) DFT{x(n)} X ep (k ) X op (k )
1 X ep (k ) DFT[ x1 (n)] [ X (k ) X * ( N k )] 2
1 X op (k ) DFT[ jx2 (n)] [ X (k ) X * ( N k )] 2
k 0, 1, , 7
x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序列定 义为
(4) x(n)=Rm(n)
m1 n 0
0<m<N
X (k ) WNkn
π j ( m1) k 1 WNkm e N 1 WNk
1 xop (n) [ x(n) x* ( N n)] 2
DFT的共轭对称性
【例3.2.2】 利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过 计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点 DFT。
解：1、直接求解，需作两次N点的DFT. 2、将两个实数序列合并为一个复数序列
M 1
k 0,1, , N 1
X (k ) X ( z) ze
X (k ) X (e j ) |
j
2π k N
k 0,1,, N 1
k 0,1,, N 1
2π k N
【例3.1.2】 设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别计算
1 N 1 x(n) IDFT[ X (k )] X (k )WN kn 解: （1） N k 0
1 N N j j 2 π mn N j j 2 π ( N m ) n e e N e e N 2 2
2π j( 2 π mn ) j( mn ) 1 e N e N 2
12． 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序 列。 设 F(k)=DFT［f(n)］N 0≤k≤N－1 (1)
1 bN 1 aN F (k ) j k k 1 aWN 1 bWN
a, b为实数
试求X(k)=DFT［x(n)］N， Y(k)=DFT［y(n)］N
频率函数
非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/T)和连续 周期(Ωs=2π/T)和离散 (Ω0=2π/T0)
3.1离散Fourier变换的定义 1.定义
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)e
n 0 N 1 j
2 nk N
nk x(n)WN n 0
0≤k≤N－1
Y(k)=X((k+l))NRN(k)
nl y(n) IDFT[Y (k )]N WN x(n)
3.2.3 循环卷积定理
循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环
卷积定义为
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
N 1
0 k N 1
1 x(n ) IDFT [ X (k )] N
X (k )WN nk 0 n N 1 k 0
N 1
式中，WN e
j
2π N
【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
X (k ) x(n)W
【例3.3.1】 长度为26的三角形序列x(n)如图3.3.1(a) 所示。编写MATLAB程序验证频域采样理论。
MATLAB求解程序ep331.m如下： %《数字信号处理(第三版）》第3章例3.3.1程序ep331. % 频域采样理论验证 M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2; xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=［xa, xb］; %产生M长三角波序列x(n) Xk=fft(xn, 512); %512点FFT［x(n)］ X32k=fft(xn, 32); %32点FFT［x(n)］ x32n=ifft(X32k); %32点IFFT［X32(k)］得到 x32(n) X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到 X16(k) x16n=ifft(X16k, N/2); %16点IFFT［X16(k)］ 得到x16(n)
1 1 bN Y (k ) jFop (k ) [ F (k ) F * ( N k )] 2j 1 bWNk

7． 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFT［x(n)］N， 则X(k)为 共轭对称序列， 即X(k)=X*（N－k)； 若x(n)实偶对称， 即 x(n)=x(N－n)， 则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称， 即x(n)=－
频域循环卷积定理
3.2.4 复共轭序列的DFT
则
设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，X(k)=DFT［x(n)］N，
DFT[ x* (n)]N X * ( N k )
0 k N 1
3.2.5 DFT的共轭对称性
且X(N)=X(0)。
* xep (n) xep ( N n)
0 n N 1
* xop (n) xop ( N n)
0 n N 1
任何有限长序列都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称 分量之和。
x(n) xep (n) xop (n)
0 n N 1
1 xep (n) [ x(n) x* ( N n)] 2
1 e
N 0
j
k m km
0≤k≤N－1

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2． 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFT［X(k)］
N j 2e N X (k ) e j 2 0 k m k N m 其它k
xop (n) 0
X (k ) X R (k )
x(n)为实序列
X (k ) X * ( N k )
前已证
X (k ) X ( N k )
X(k)为实偶序列
(3)x(n)为实奇序列 x(n)=-x(N－n)
x(n)为奇序列
xep (n) 0
X (k ) X j (k )
X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，
并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。 解 由DFT与傅里叶变换的关系知道，X(ejω)在频率区
间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，分别是x(n)的16
点和32点DFT。调用fft函数求解本例: % DFT的MATLB计算 xn=［1 1 1 1］; Xk16=fft(xn, 16); Xk32=fft(xn, 32); %计算xn的16点DFT %计算xn的32点DFT