( k ) 也仅有 0，Байду номын сангаас，…，N-1 个独立值,周期为 N。 X
13
DFS 定义：变换对
x(n) = xa(nT) (c) DTFT 0 T Tm
n
1/T
~ X ( )
-Ωs
-Ωm
1/T
Ωm
Ωs
~ x(n) ~ x(nT)
(d) DFS
n
~ ~ X (k) X (k1)

-N
1
第三章 DFT——离散傅立叶变换
• • • • •
DFS 和 DFT 的导出 DFS 和 DFT 的性质 Z 变换与 DFT 的关系 IDFT 频谱分析
3.1 问题的提出：离散信号的变换

离散信号在两种变换域中的表示方法
（1）离散时间傅里叶变换 DTFT -- 提供了绝对可加的 离散时间序列在频域（ω）中的表示方法。
解：上述序列的基本周期为 N=4，因而
W4 = e-j2π/4 = -j，
~ X (k )

3
n0
~ x ( n )W 4nk
n 0
3 3 ~ X ( 0) ~ x ( n )W4n0 ~ x (n) ~ x ( 0) ~ x (1) ~ x ( 2) ~ x (3) 6 n 0 3 3 ~ n X (1) ~ x ( n )W4 ~ x ( n )( j ) n 0 j 2 3 j ( 2 2 j ) n 0 n 0 3 3 ~ 2n ~ X ( 2) x ( n )W4 ~ x ( n )( j ) 2 n 2 n 0 n 0 3 3 ~ X (3) ~ x ( n )W43n ~ x ( n )( j ) 3n ( 2 2 j ) n 0 n 0
N
N 1 n0
-N
0
N
(k ) X 1 x (n ) N

( n )W x
kn N
其中
kn N

N 1 k0
( k )W X
WN e
j
2 N
14
例 ：求出下面周期序列的 DFS 表示式 ~ x ( n) {....,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3......}
当 N=5、10、20、50 时，分别对其 Z 变换 在单位圆上取样，研究不同的 N 对时域的影响。
解：可得 x(n) 的 Z 变换为：
1 z X (z) , z 0.7 1 1 0.7 z z 0.7
可用 Matlab 来实现取样运算：
X (k ) X ( z ) |
ze
x(n) = xa(nT) (c) DTFT 0 T Tm
n
~ X ( )

-Ωs
-Ωm
1/T
Ωm
Ωs
~ x (n) ~ x (nT)
(d) DFS
n
~ ~ X (k ) X (k1 )

-N
0
N
-N
0
N
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结： 形 式 傅里叶变换 FT 傅里叶级数 FS 时间函数 连续 非周期 连续 周期(T0) 频率函数 非周期 连续 非周期 离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/Ts) 连续 周期(Ωs=2π/Ts) 离散(Ω0=2π/T0)
n0 N 1 n0
N 1
2 k) N
( n)e x
kn x ( n)W N
令
WN e
j
2 N
11
DFS 定义：正变换

频域取样 X(ejω) 是连续变量 ω 的周期函数，周期为2π。 把ω 离散化，即在0～2π区间内等间隔取 N 个点，取 样间隔为 2π/N。
0
10
DFS 定义：正变换
X ( z ) | z e j X ( e
j
)

j
N 1 n0
x ( n ) e jn
X (e ) |
则
j

2 k N
X (e
jn (
2 k N
(k ) ) X
N 1 n0 j 2 kn N
(k ) x ( n)e X
1 (n ) 和 x 2 (n ) ， 周 期 均 为 N , 则 周 期 卷 积 设：两 个 周 期 序 列 x
( n) x 1 ( n ) * x 2 ( n) y
N 1 m 0 1 2
(m) x (n m) x (m) x (n m) x
7
3.2 DFS 及其性质
由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频
域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延 拓。
因此可以设想，如果同时对频域和时域取样，其
结果是时域和频域的波形都变成离散、周期性的 波形，从而我们可以利用付氏级数这一工具，得 到它们之间的离散付氏级数 DFS 关系。
8
DFS 定义：正变换
例 ：已知序列 x ( n ) R4 ( n ), 将 x ( n )以 N 8为周期 ( n )，求 x ( n )的 DFS。 进行周期延拓成 x
解法一：数值解
(k ) X
nk nk x ( n ) W x ( n ) W N 8 n 0 3 n 0 N 1 7
N=10
1.2020
1 0.5 0
20 n N=40
40
1.0000
20 n
40

从图中清楚地表明在时域中出现的混叠，尤其是当 N=5 与 N=10 时。对于大的 N 值，其 x(n) 的尾部足够小，实际上不会 导致明显的混迭。这对于变换前，有效截取无限序列，是非常有 效的。
DFS 的性质：线性

~ x (n) ~ x (nT)
(d) DFS
n
-N
1/T
~ ~ X (k ) X (k1 )
-N
N
0
N
问题：离散周期信号的傅里叶变换形式是否存在？ NO！
(n) x ( n N m ), m 为 整 数 x
(z) X
n


(n)z n x
思路2：计算X ( z )时, 截取x(n)的一个周期
证明：
ln ( n)] DFS[W N x
( l k )n x ( n)W N
nm (k) X (k m ) 则 有 ： 若：X x (n ) W 2 2 N x(n )
(k l ) X
22
DFS 的性质：周期卷积 （1）
周期卷积（时域）
n0
N 1
j(
2 )( k N ) n N
(n)e x
n0
N 1
j(
2 ) kn j 2 n N
e
所以
(n)e x
n0
N 1
j(
2 ) kn N
(k ) X
随 k 周期变化， 仅有 0，1，…， N-1 个独立值。
仅有 0，1，…，N-1 个独立值。
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
X (z)
n


x(n)z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
3
3.1 问题的提出：可计算性
问题：X(z)，X(ejw) 都是连续的，利用计算机 处理有困难，例如使用 Matlab，因此
N 1 m nk x ( n m ) W N n 0 N 1
令i n m

i m
( i )W x
k ( i m ) N
W
mk N
N 1 m

i m
ki ( i )W N x
W
mk N
N 1 m N 1 m 1 N 1 ki ki mk ki ki x ( i ) W x ( i ) W W x ( i ) W x ( i ) W N N N N N i N i 0 i m i m N 1 i 0
j
2 k N
e j 2 k / N j 2 k / N , k 0, 1, ..... e 0.7
用 IDFS 计算，确定相应的时域序列。
N=5 1.5 xtilde(n) xtilde(n) 1.5 1 1.0291 0.5 0 0 1.5 xtilde(n) 1 1.0008 0.5 0 0 20 n 40 xtilde(n) 20 n N=20 40 1.5 1 0.5 0 0 0
－－ a,b为任意常数
20
DFS 的性质：序列的周期移位
序列的周期移位（时域） ( n) 若x 是周期序列，其周期为N，移位后仍为周期序列，且：
mk ( n m )] W N DFS[ x X (k ) e j 2 mk N
(k ) X
证明：
( n m )] DFS[ x
m 0 2 1
N 1
若 则
IDFS (k ) X (k ) X (k ) ( n ) x1 ( n ) * x 2 ( n ) y Y 1 2
W8nk
n 0
1 e
(0) 4 X ( 4) 0 X
j
2 k 8
e
j
2 2k 8
e
j
2 3k 8
(5) 1 j X
(1) 1 j X