X (t0 ) X 0
(t f
)
[ X (t f ), t
X (t f )
f
]
gT [ X [
X
(t f (t f
,tf )
)]
]
H
gT
t优f 选知t识f ( t f
)
0
4
3、与 U * (t) 对应的哈密顿函数H取极小值。
H[ X *(t),U *(t), *(t), t] min H[ X *(t),U (t), *(t), t] u(t)
第三章 极小值原理及应用
经典变分法缺陷：
1、应用前提：a 、控制量 u(t)的取值不受任何限制，没有任何 不等式约束。
b 、 f、L、 等函数对其自变量有充分可微性。
2、实际控制要求：
a 、控制量u受不等式约束，如：Mi (u) 0 ，i=1,2,3……
b 、性能指标有时并不完全可微
优选知识
1
如：燃料最优控制： J t f u(t) dt t0
J[U ] H
u0 u u2
U 00 U11 U2 u
若采用经典变分：
H U
0,U *
U1;实际应为U *
U
。极小值原理。
0
J[U ] H
u0 u u1
U0
U1 u
优选知识
2
若采用经典变分法： H 0 不再适用，求不出解来
U
实际应为 U * U 0 极小值原理
J[U ] H
U0 U * U1
1 0 t 0.307
所以 U * (t)
0.5 0.307 t 1
•
x(t)
x(t) 1 0 t 0.307
x(t) 0.5 0.307 t 1
c1et 1 0 t 0.307
x(t)
c2et 0.5
0.307 t 1
优选知识
9
由x(0)=5代入,得c1 4
所以 x*(t) 4et 1
即:设 X * (t), * (t) 为满足状态方程和协状态方程的最优解。
在 H[ X * (t),U * (t), * (t), t] 中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条
件为 U * (t) 使得 H[ X * (t),U * (t), * (t), t] 仅看作U的函数时也取最小值。
极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行
g T t f
0
7
四、例题分析 :设一阶系统状态方程：
•
x(t) x(t) u(t)
x(0)=5
控制约束: 0.5 u 1
试求使性能指标: J
1
[x(t) u(t)]dt
0
为极小值的最优控制U *(t)及最优性能指标 J *
t 解:定常系统, f 固定,末端自由问题
H x u (x u) x(1 ) u(1 )
0 t 0.307
令t=0.307可得0.307≤t≤1时x(t)的初始条件:
x(0.307) 4e0.307 1 6.44 解得 c2 4.34
4et 1
0 t 0.307
所以 X * (t)
4.34et 0.5 0.307 t 1
1）t0 , t f已知，X (t0 ) X 0 , X (t f ) X f 边界条件为：X (t0 ) X 0 , X (t f ) X f
2) t0 , X (t0 ) X 0 给定，X (t f )自由，t f 未给定，
边界条件： X
(t0 )
X 0 , (t
f
)
X
|t f
确定t f
一般:对于实际系统 有最优解 有唯一解 最优解 根据物理意义 －－－－－－－－
极小值原理
－－－－－－－－
－－
优选知识讨论的是 t0和 X (t0 ) 已知。X (t f )受约束，t f 自由的最一般
情况。若 t f 和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。
u u0 u u1
若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值 原理与经典变分法，所得
结论一致。
优选知识
3
一、<定理>极小值原理：[时变系统]
时变受控系统
•
X
f
(X ,U ,t)，其中控制向量u(t)
R r，
为容许控制
域， U(t)是在内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始
X (t0 ) X 0 转移到末端 X (t f )，X (t f ) 满足约束：g[ X (t f ), t f ] 0 ，
t f 未定， 并使性能指标达
J
[ X (t f ), t f ]
tf t0
L[ X (t),U (t), t]dt
到极小值。设
U
*
(t
)
和t
* f
是如上J为最小的最优解，X
*
(t
)为最优状态轨
线，则必存在不为0的n维向量 (t)，满足:
1、规范方程：
•
X f (X ,U,t)
•
H
X
2、边界条件：
根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小
1 1
所以 U * (t)
0.5 1
由协状态方程:
•
(t
)
H
[1 (t)]; (t) cet 1
X
优选知识
8
由横截条件: (1) ce1 1 0; c e; (t) e1t 1
显然:当 (ts ) 1时，U * (t) 产生切换
(ts ) e1ts 1 1, ts 0.307
:
H tf
t f
0
3) t0 , t f 已知，X (t0 ) X 0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] 0
边界条件为: X (t0 ) X 0
(t f )
X
tf
g T X
tf
g[ X (t f ), t f ] 0
t 若
f 自由:外加:
H
|t f
优选知t f识
这一原理是苏联学者 “庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得
_
在证明过程中： 与H得符号与这里所定义的相反。 H H
_
_
H[ X * (t), (t),U * (t)] max H[ X * (t), (t), u(t)]
u(t)
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。
3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
证明，省略。
二、极小值原理的意义：
1 、容许控制条件放宽
变分法：在整个控制域，对U没有约束 H 0 且即使U不受限制，
有时 H 0 计算不易。
u
u
极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。
变分法仅为优极选小知识值原理的一个特例。
5
2、最优控制 U * 使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。