（2.1.4）
（2.1.5）
其中，
（2.1.6）
*
7
(2)边界条件为
（2.1.7）
（2.1.8）
(3)哈密顿函数H对控制变量U(t) (t0t tf)取极小值，即
（2.1.9）
定理1.6.1是在控制变量u(t)不受约束的情况下，求最优控 制函数U*(t) ，使哈密顿函数（2.1.6）达到极小值。这也是在 控制函数U(t)不受约束或只受开集性的约束的情况下的最小 值原理。 显然，控制方程（2.1.9）也可以写成如下形式
则为将系统从给定的初态X(t0)=X0 转移到终端时刻tf固定，终端 状态X(tf)自由的某个终态，并使性能泛函
*
6
达到极小值的最优控制应满足的必要条件是 (1)设U*(t)是最优控制， X*(t)是对应与U*(t)的最优轨线，则
必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X(t)与 (t)满足规范方程
于闭集性约束的边界时，古典变分法便不再适用了。
(2)在应用古典变分法来求解最优控制问题时，要求函数
[X ( tf ) ,tf ], L[X(t),U(t),t] , f [X(t), U(t) ,t] 对它们的自变量
具有“充分”的可微性，特别要求H/U(t)有定义，于是，类 似
这样的性能泛函数就被排除在外了。但是在燃料最优 控制问题中，这类性能泛函却是无法避免的。
则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得 X*(t)和(t)满足规范方程
式中H是哈密顿函数，且为 (2)边界条件为
*
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(3)哈密顿函数在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上达到最小 值,即
说明: (1)由于定理2.1.1的中心内容是,使性能泛函(2.1.3)达到 最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最小值， 所以，该定理称为最小值原理。
给定系统的状态方程
和初态X(t0)=X0， 而终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及 控制变量U(t)所受约束条件是
则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性 能泛函
达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：
*
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(1) 设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，
*
5
X(tf)的过程中，性能泛函
(2.1.3) 达到极小值。其中L是连续可微的标量函数。
这个积分型最优控制问题所确定的控制U(t)称为最优控制， 记为U*(t)。
如果不考虑式（2.1.2）的约束条件，那么该最优控制问题 的解的必要条件可由第一章的定理1.6.1给出，现引述如下：
定理1.6.1 设系统的状态方程为
(2)一个函数的最小值点与该函数反号后的最大值是一致 的。所以，若令哈密顿函数为
则下列二式
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和
的结果是一致的，只是二式中的协态变量(t)是互为反号的。
定理2.1.2 （积分型最优控制问题的最大值原理） 给定系统的状态方程
和初态X(t0)=X0， 而终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控 制变量U(t)所受约束条件是
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3
• 二.最大值原理和动态规划
为了解决古典变分法在求解最优控制问题中所暴露出来 的上述问题，许多学者进行了各种探索。其中以苏联学者庞 特里雅金（Л.C.ПoHTpЯГИH）的最大值原理（或最小值原理） 与美国学者贝尔曼（R.E.Bellman）的动态规划较为成功，应 用也较广泛，现已成为求解最优控制问题的强有力的工具。
•最优控制最大值原理
主要内容
• §2.1 最大值原理的提出 • §2.2 最大值原理的证明 • §2.3 一般型最优控制问题终端时刻tf
可变的情况 • 课外习题
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2
• 一、 古典变分件 利用如下形式的不等式来表示.
即 当控制函数U(t)受到上述不等式约束,并且最优控制取决
（2.1.10）
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说明： (1)当控制函数U(t)不受约束或只受开集性约束条件下， 控制方程（2.1.9）和（2.1.10）是等价的。
(2)在控制函数U(t)受到式（2.1.2）所表示的闭集性约束的 条件下，控制方程（2.1.9）未必是最优控制问题的解的必要 条件之一。
a.因为
b.作为控制变量U(t)的函数的Hamilton函数H [ X(t)，(t)，
U(t)，t]在闭子集内可能不存在极值点，而企图以H/U 来 求极小值点也是难以奏效的。
因此，在控制函数U(t)受到式（2.1.2）那样闭集性约束 的条件下，控制方程（2.1.9）不再是由式（2.1.1）～式（ 2.1.3）所给定的最优控制问题解的必要条件了。
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但是，控制方程（2.1.10）总是成立的，它仍然是由式（2.1.1） ～式（2.1.3）所给定的最优控制问题解的必要条件 。 定理2.1.1 （积分型最优控制问题的最小值原理）
则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性能 泛函
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达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：
(1)设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则
必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t) 和(t)满足规范方程
在这一章里，首先通过积分型最优控制问题提出最大值 原理，然后再推广到复合型最优控制问题中，然后利用增量 法对最大值原理进行证明。
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§2.1 最大值原理的提出
• 2.1.1 积分型最优控制问题
问题2.1.1(积分型最优控制问题) 给定系统的状态方程：
(2.1.1) 其中，f是n维连续可微的向量函数；X(t)是n维状态变量，其 初态X(t0)=X0， 而终态应满足的条件是：终端时刻tf固定，终 端状态X(tf)自由，U(t)是m维控制变量，其所受约束条件是
(2.1.2) 其中，是以U(t)为元素的m维实函数空间中的一个闭子集。 式(2.1.2)表明，控制变量是这个闭子集中的元素。满足式 (2.1.2)约束条件的控制变量称为容许控制变量，简称容许控 制。要求在满足式(2.1.2)的容许控制中，确定一控制变量 U(t)，使系统（2.1.1）从给定的初态X(t0)转移到某个终态