水尾中学中考专项训练（压轴题）答案1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长．解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90°∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝1 2CD ＝3，CF ＝3DF ＝3∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4∴BD ＝BF 2＋DF 2＝16＋3＝19∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝13∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2－AE 2＋AD 2－AE 2＝BD即13－AE 2＋12－AE 2＝19∴13－AE 2＝19－12－AE 2两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－219(12－AE 2)整理得：19(12－AE 2)＝9，解得AE ＝719572．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵的中点．（1）如图1，P 为 ABC ︵的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ；（2）如图2，P 为 ABC ︵上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（1）证明：连接AD∵D 为AC ︵的中点，P 为 ABC ︵的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90°DDP图1 图2∵∠B ＝60°，∴∠APC ＝60°∵D 为AC ︵的中点，∴∠APD ＝∠CPD ＝30°∴PA ＝PD ·cos30°＝3 2PD∵P 为 ABC ︵的中点，∴PA ＝PC∴PA ＋PC ＝3PD （2）成立 理由如下：延长P A 到E ，使EA ＝PC ，连接DE 、AD 、DC 则∠EAD ＋∠PAD ＝180° ∵∠PCD ＋∠PAD ＝180°∴∠EAD ＝∠PCD∵D 为AC ︵的中点，∴AD ︵＝CD ︵∴AD ＝CD∴△EAD ≌△PCD ，∴ED ＝PD 过D 作DH ⊥PE 于H 由（1）知，∠APD ＝30°∴PH ＝PD ·cos30°＝32PD ，PE ＝2PH ＝3PD ∵PA ＋EA ＝PE ，∴PA ＋PC ＝3PD 3．（湖北模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 、PC 分别切⊙O 于A 、C ，CD ⊥AB 于D ，PB 交CD 于E ．（1）求证：CE ＝DE ；（2）若AB ＝6，∠APC ＝120°，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OP 、OC 、BC ∵PA 、PC 是⊙O 的切线∴PA ＝PC ，∠PAO ＝∠PCO ＝90° 又PO ＝PO ，∴Rt △PAO ≌Rt △PCO∴∠POA ＝∠POC ，∴∠AOC ＝2∠POA又∠AOC ＝2∠ABC ，∴∠POA ＝∠ABC又∠PAO ＝∠CDB ＝90°，∴△PAO ≌△CDB ∴P ACD＝OABD∵∠PAB ＝∠EDB ＝90°，∠PBA ＝∠EBD ∴△PAB ≌△EDB ，∴P AED＝BABDPBB∵AB＝2OA，∴P AED＝2OABD＝2P ACD∴CD＝2ED，∴CE＝DE（2）解：∵∠APC＝120°，∠PAO＝∠PCO＝90°∴∠AOC＝60°，∴∠DCO＝30°∵AB＝6，∴OA＝OC＝3∴OD＝OC·sin30°＝32，CD＝OC·cos30°＝332∴S阴影＝S扇形AOC－S△DOC＝60×π×32360－12×32×332＝3π2－9384．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．（1）求BD的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当CE⊥OD时，求AO的长．解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴BDOC＝ODAC∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴BD6＝64，∴BD＝9（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴ABAO＝AOAC∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴y＋13x＝x4∴y＝14x2－13∵0＜y＜8，∴0＜14x2－13＜12，解得213＜x＜10∴定义域为213＜x＜10（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴14x2－13＋4＝x∴x＝2±210（舍去负值）∴AO＝2±210 A BDCEOA BDCEO5．（北京模拟）如图，抛物线y＝2m x2－2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C．（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．解：（1）∵y＝2m x2－2x＝2m(x－12m)2－12m∴抛物线的顶点B的坐标为（12m，－12m）（2）令2m x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝m∵抛物线y＝2m x2－2x与x轴负半轴交于点A∴A（m，0）且m＜0. 过点D作DF x轴于F由D为BO中点，DF∥BC，可得CF＝FO＝12CO∴D＝12BC由抛物线的对称性得AC＝OC，∴AFAO＝34∵DF∥EO，∴△ADF∽△AEO，∴DFEO＝AFAO由E（0，2），B（12m，－12m），得OE＝2，DF＝－14m∴－14m2＝34，∴m＝－6∴抛物线的解析式为y＝－13x2－2x备用图（3）依题意，得A （－6，0），B （－3，3），C （－3，0） 可得直线OB 的解析式为y ＝－x ，直线BC 为x ＝－3 作点C 关于直线BO 的对称点C 1（0，3），连接AC 1交BO 于M ，则M 即为所求 由A （－6，0），C 1（0，3），可得直线AC 1的解析式为y ＝1 2x ＋3由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1 2x ＋3y ＝－x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2∴点M 的坐标为（－2，2）由点P 在抛物线y ＝－1 3 x 2－2x 上，设P （t ，－13t2－2t ）①当AM 为平行四边形的一边时如右图，过M 作MG ⊥x 轴于G ，过P 作PH ⊥BC 于H 则x G ＝x M＝－2，x H＝x B＝－3可证△AMG ≌△PQH ，得PH ＝AG ＝4 ∴t －(－3)＝4，∴t ＝1∴P 1（1，－73）如右图，同理可得PH ＝AG ＝4 ∴－3－t ＝4，∴t ＝－7 ∴P 2（－7，－73）②当AM 为平行四边形的对角线时如右图，过M 作MH ⊥BC 于H ，过P 作PG ⊥x 轴于G 则x H＝x B＝－3，x G＝x P＝t可证△APG ≌△MQH ，得AG ＝MH ＝1 ∴t －(－6)＝1，∴t ＝－5∴P 3（－5，53）综上，点P 的坐标为P 1（1，－73），P 2（－7，－73），P 3（－5，53）6．（上海模拟）已知：如图，直线y ＝x －15与x 轴、y＝－13x2＋bx ＋c 经过A 、B 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为点D ，与x 轴的另一个交点为点C ，对称轴与x 轴交于点H ，求△DAC 的面积；（3）若点E 是线段AD 的中点，CE 与DH 交于点G ，点P 在y 轴的正半轴上，△POH 是否能够与△CGH 相似？如果能，请求出点P 的坐标；如果不能，请说明理由．解：（1）由题意，得A （15，0），B （0，－15） ∵抛物线y ＝－13x2＋bx ＋c 经过A 、B 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧－1 3×152＋15b ＋c ＝0c ＝－15解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6c ＝－15∴抛物线的解析式为y ＝－13x2＋6x －15（2）∵y ＝－1 3 x 2＋6x －15＝－ 13(x －9)2＋12∴顶点D 的坐标为（9，12） 设y ＝0，则－13(x －9)2＋12＝0∴(x －9)2＝36，∴x 1＝3，x 2＝15 ∴C （3，0），∴AC ＝15－3＝12∴S △DAC＝1 2 AC ·DH ＝12×12×12＝72（3）∵点E 是线段AD 的中点，点H 是线段AC 的中点 ∴点G 是△DAC 的重心.，∴GH ＝13DH ＝4①若POGH ＝OHCH，则△HPO ∽△CGH∴PO4＝96，∴PO ＝6 ∴P 1（0，6） ②若POCH＝OHGH，则△PHO ∽△CGH ∴PO6＝94，∴PO ＝272∴P 2（0，272）∴△POH 能够与△CGH 相似，此时点P 的坐标为P 1（0，6）或P 2（0，272）7．（四川成都）如图，在平面直角坐标系xO y 中，一次函数y ＝54x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴交于点A （－3，0），与y 轴交于点C ．以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）两点，试探究M 1P ·M 2PM 1M 2是否为定值，并写出探究过程．解：（1）∵一次函数y ＝54x ＋m 的图象与x 轴交于点A （－3，0）∴5 4 ×(－3)＋m ＝0，解得m ＝15 4∴点C 的坐标是（0，154）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过A ，C 两点，且对称轴为直线x ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0c ＝154－ b 2a＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14b ＝12c ＝15 4∴抛物线的函数表达式为y ＝－1 4x2＋ 1 2 x ＋154（2）假设存在点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形 （ⅰ）当CE ∥AF 时，点E 在x 轴上方，y E＝y C＝154由－1 4x2＋ 1 2 x ＋ 15 4 ＝ 154，解得x 1＝0（舍去），x 2＝2∴E 1（2，15 4 ），此时S □ACE 1F 1＝2×15 4＝152（ⅱ）当AE ∥CF 时，点E 在x 轴下方，y E＝－y C＝－154由－1 4x2＋ 1 2 x ＋ 15 4 ＝－ 154，解得x 1＝1＋ 31，x 2＝1－31∴E 2（1＋31，－15 4）过E 2作E 2H ⊥x 轴于H ，则△E 2HF 2≌△COA ∴HF 2＝AO ＝3，AF 2＝7＋31∴S □ACF 2E 2＝2S □ACF 2＝AF 2·CO ＝15(7＋31)4综上所述，存在符合条件的点E 1（2，15 4 ），E 2（1＋31，－154），使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，相应的面积分别是15 2，15(7＋31)4（3）方法一：∵A ，B 两点关于抛物线的对称轴x ＝1对称∴AP ＋CP ＝BP ＋CP≥BC∴当C 、P 、B 三点在一条直线上时，△ACP 此时点P 的坐标为（1，3）分别过点M 1，M 2作直线x ＝1的垂线，垂足为N 1，N 2 在Rt △M 1PN 1中，由勾股定理得M 1P 2＝M 1N 12＋PN 12＝(x 1－1)2＋(y 1－3)2 ①∵y 1＝－1 4x 12＋1 2x 1＋15 4 ＝－14(x 1－1)2＋4即(x 1－1)2＝4(4－y 1)，将其代入①，得M 1P 2＝(5－y 1)2∴M 1P ＝5－y 1（y 1＜5） 同理M 2P ＝5－y 2由M 1N 1∥M 2N 2，得△M 1PN 1∽△M 2PN 2∴M 1PM 2P＝N 1PN 2P，即5－y 15－y 2＝3－y 1y 2－3整理得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)－15∴M 1P ·M 2PM 1M 2 ＝(5－y 1)(5－y 2) ( 5－y 1 )＋( 5－y 2 ) ＝ y 1y 2－5( y 1＋ y 2 )＋2510－( y 1＋ y 2 )＝1故M 1P ·M 2PM 1M 2是定值，其值为1方法二：同方法一得点P 的坐标为（1，3） 设过点P 的直线表达式为y ＝kx ＋3－k联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3－k y ＝－ 1 4x2＋ 1 2 x ＋15 4消去y ，整理得x2＋( 4k －2 )x －( 4k ＋3)＝0∴x 1＋x 2＝2－4k ，x 1x 2＝－(4k ＋3)由y 1＝kx 1＋3－k ，y 2＝kx 2＋3－k ，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)∴M1P2·M2P2＝[(x1－1)2＋(y1－3)2][(x2－1)2＋(y2－3)2]＝[(x1－1)2＋k2(x1－1)2][(x2－1)2＋k2(x2－1)2]＝(k2＋1)2(x1－1)2(x2－1)2＝(k2＋1)2(x1x2－x1－x2＋1)2＝16(k2＋1)2M1M22＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(k2＋1)(x1－x2)2＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16(k2＋1)2∴M1P2·M2P2＝M1M22，即M1P·M2P＝M1M2故M1P·M2PM1M2是定值，其值为18（四川雅安）在直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．（1）若点P的坐标为（－1，4），求此时抛物线的解析式；（2）若点P的坐标为（－1，k），k＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB＋QP 取得最小值5；（3）试求满足（2）时动点Q的坐标．解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4将A（1，0）代入上式，得a＝－1∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4（2）作点P（－1，k）关于y轴的对称点P′（1，k）∴QP＝QP′∵抛物线顶点为P（－1，k），∴抛物线的对称轴为x＝－1∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，∴B（－3，0）若QB＋QP最小，即QB＋QP′最小则B、Q、P′三点共线，即P′B＝5又AB＝1＋3＝4，连接P′A，则P′A⊥AB∴△P′AB是直角三角形，∴P′A＝52－42＝3∴k＝3（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′∴BOBA＝OQAP′，即34＝OQ3，∴OQ＝94∴动点Q的坐标为（0，－9 4）10．（四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，－n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x2－2x －3＝0的两根． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．解：（1）解方程x2－2x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝3 ∵m＜n ，∴m ＝－1，n ＝3∴A （－1，－1），B （3，－3）∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝a －b －3＝9a ＋3b 解得a ＝－1 2 ，b ＝12∴抛物线的解析式为y ＝－1 2x2＋ 12x（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－k ＋b －3＝3k ＋b解得k ＝－1 2 ，b ＝－32∴直线AB 的解析式为y ＝－1 2 x －32∴C 点坐标为（0，－32）∵直线OB 过点O （0，0），B （3，－3） ∴直线OB 的解析式为y ＝－x∵△OPC 为等腰三角形，∴OC ＝OP 或OP ＝PC 或OC ＝PC 设P （x ，－x ）（i ）当OC ＝OP 时，x2＋(－x)2＝94解得x 1＝32 4，x 2＝－ 32 4 （舍去），∴P 1（32 4 ，－324） （ii ）当OP ＝PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，∴P 2（34，－34）（iii ）当OC ＝PC 时，x2＋(－x ＋3 2)2＝94解得x 1＝3 2，x 2＝0（舍去），∴P 3（3 2，－32）∴P 点坐标为P 1（32 4，－ 32 4 ）或P 2（3 4 ，－ 3 4 ）或P 3（3 2 ，－32）②过点D 作DG ⊥x 轴，垂足为G ，交OB 于Q ，过B 作BH ⊥x 轴，垂足为H设Q （x ，－x ），则D （x ，－1 2x2＋ 12x ）∴DQ ＝－1 2x2＋ 1 2 x ＋x ＝－ 1 2x2＋ 32x∴S △BOD＝S △ODQ＋S △BDQ ＝1 2DQ ·OG ＋ 1 2 DQ ·GH ＝ 12DQ ( OG ＋GH)＝1 2 (－1 2x2＋ 3 2 x )×3＝－ 3 4 ( x － 3 2 )2＋2716∵0＜x＜3∴当x ＝3 2 时，S 取得最大值为27 16 ，此时D （3 2 ，－3 8）11．（四川模拟）如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴正半轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．已知A （－2，0），tan ∠ABC ＝34，S △ABC＝9．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一点，且以B 、D 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，请你选择一个P 点求出△BDP 外接圆圆心的坐标．解：（1）由题意得：⎩⎨⎧OCOB＝341 2(2＋OB)·OC ＝9解得：⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝4OC ＝3（舍去负值）∴B （4，0），C （0，3）∴设抛物线为y ＝a (x ＋2 )( x －4)，把C （0，3）代入，得3＝a (0＋2 )( 0－4 )，解得：a ＝－38∴抛物线的解析式为y ＝－38(x ＋2 )( x －4)即y ＝－3 8 x 2＋ 34x ＋3（2）存在∵y ＝－3 8 x 2＋ 34 x ＋3＝－ 3 8 ( x －1 )2＋278∴抛物线的对称轴是直线x ＝1∴D （1，0），∴OD ＝1备用图∵OA ＝2，OB ＝4，OC ＝3，∴AB ＝6，BC ＝5，BD ＝3 当△BDP ∽△BAC 时，则∠BDP ＝∠BAC ∴DP ∥AC∵D 为AB 中点，∴P 为CB 中点 ∵B （4，0），C （0，3），∴P 1（2，32）当△BPD ∽△BAC 时，则BPBA＝BDBC∴BP6＝35，∴BP ＝18 5过点P 作PH ⊥OB 于H ，则△BPH ∽△BCO ∴BHBO＝PHCO＝BPBC，∴BH4＝PH3＝1855∴BH ＝7225 ，PH ＝54 25 ，∴P 2（28 25 ，5425） ∴满足条件的P 点有两个，P 1（2，32），P 2（2825，5425）（3）选择P （2，32），设E 为△BDP 外接圆的圆心则点E 是线段BD 的中垂线和线段BP 的中垂线的交点 易知线段BD 的中垂线为x ＝5 2 ，设点E 坐标为（52，m ）由ED ＝EP ，得(5 2－1)2＋m2＝( 5 2 －2)2＋(m －3 2)2解得m ＝112，即E （5 2，1 12） ∴当点P 坐标为（2，32）时，△BDP 外接圆圆心的坐标为（52，112）12．（四川模拟）已知圆⊙A 的半径为2，圆心A （t ，0）是抛物线y ＝－12x2＋bx 与x 轴的交点，点P 是x 轴上方抛物线上任意一点，点Q 是线段OP 的中点．（1）如图1，当t ＝4时，点P 在抛物线上运动，点Q 跟随点P 运动，其运动路径也是一段抛物线，直接写出点Q 运动路径的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （2）如图2，当∠POA ＝45°且t＞0时，过点Q 作OP 的垂线l ，证明直线l 与⊙A 相切； （3）当∠POA ＝45°时，使得直线l 与⊙A 相切于点M ，且四边形P AMQ 为矩形．此时，在抛物线上是否存在点B ，使由A 、B 、P 、Q 四点构成以AP 为对角线的梯形？若存在，求出B解：（1）y ＝－x2＋2x （0＜x＜2）提示：当t ＝4时，A （4，0），代入y ＝－1 2x2＋bx ，得b ＝2∴抛物线为y ＝－12x2＋2x设P （m ，－1 2 m 2＋2m ），则Q （1 2 m ，－ 14m2＋m ）设Q （x ，y ），则x ＝1 2 m ，y ＝－ 14m2＋m∴m ＝2x ，∴y ＝－14(2x)2＋2x ＝－x2＋2x∵0＜m＜4，∴0＜x＜2∴点Q 运动路径的函数解析式为y ＝－x2＋2x （0＜x＜2）（2）∵y ＝－12x2＋bx ，∴A （2b ，0）∵∠POA ＝45°，∴直线OP 的解析式为y ＝x联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝－1 2x2＋bx 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝0（舍去）⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2b －2y 2＝2b －2 ∴P （2b －2，2b －2）设l 与x 轴交于点D ，连接PD由题意，l 是线段OP 的垂直平分线 ∴OD ＝PD ，∴∠OPD ＝∠POD ＝45° ∴∠ODP ＝90°，∴△OPD 是等腰直角三角形 ∴∠ODQ ＝45°，OD ＝2b －2 ∴AD ＝2b －(2b －2)＝2过点A 作AM ⊥l 于M ，则∠ADM ＝45° ∴△ADM 是等腰直角三角形∴AM ＝22AD ＝2＝⊙A 的半径 ∴直线l 与⊙A 相切（3）∵四边形P AMQ 为矩形，∴PQ ＝AM ＝ 2 ∴OP ＝22，∴P （2，2），∴Q （1，1） ∴2b －2＝2，∴b ＝2∴A （4，0），抛物线为y ＝－12x2＋2x易得直线AQ 的解析式为y ＝－1 3x ＋43∵四边形ABPQ 是以AP 为对角线的梯形∴BP ∥AQ ，∴设直线BP 的解析式为y ＝－13x ＋n把P （2，2）代入，得n ＝8 3，∴y ＝－ 1 3 x ＋83联立 ⎩⎨⎧y ＝－13x ＋83y ＝－ 1 2 x 2＋2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝2（舍去）⎩⎨⎧x 2＝83y 2＝169∴B （83，169）∴存在点B （83，169），使由A 、B 、P 、Q 四点构成以AP 为对角线的梯形13．（四川模拟）如图，抛物线y ＝1 2 x 2＋bx ＋c 与直线l ：y ＝ 34x －1交于点A （4，2）、B （0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 在直线l 下方的抛物线上，过点D 作DE ∥y 轴交l 于E 、作DF ⊥l 于F ，设点D 的横坐标为t ，△DEF 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式，并求p 的最大值及此时点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若△BMN 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，求点M 的坐标．解：（1）由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧1 2 ×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5 4c ＝－1 ∴抛物线的解析式为y ＝ 1 2 x 2－ 54x －1（2）∵点D 在抛物线y ＝1 2 x 2－ 54x －1上∴设D （t ，1 2 t2－5 4 t －1），则E （t ，34t －1）∴DE ＝3 4 t －1－(1 2 t 2－ 5 4 t －1 )＝－ 12t2＋2t在y ＝3 4 x －1中，令y ＝0，得x ＝43∴直线AB 与x 轴交于点C （43，0）∴BC ＝12＋(43)2＝5 3∴△OBC的周长为为1＋43＋53＝4∵DE∥y轴，DF⊥l，∴△DEF∽△CBO∴p4＝－12t2＋2t53∴p＝－65t2＋245t＝－65(t－2)2＋245∴当t＝2时，p有最大值为24 5此时D（2，－3 2）（3）过点M作MG⊥x轴于G，过点B作BH⊥MG轴于H 易证△MGN≌△BHM，∴MG＝BH∴12x2－54x－1＝x或12x2－54x－1＝－x解得x1＝9＋1134，x2＝9－1134，x3＝1＋334，x4＝1－334∴M1（9＋1134，9＋1134），M2（9－1134，9－1134）M3（1＋334，－1＋334），M4（1－334，－1－334）。