例：
X 轴坐标 —— 1 Y 轴坐标 —— 1 Z 轴坐标 —— ∞
11∞ ( 1 1 0)
绘出( 3 3 4 ) 和 ( 1 1 2 ) 晶面
取倒数
111
化简
3
( 334 )
(-
)
( -1 1 )
334
4
(11 2)
( 1 -1 1 ) 2
请绘出下列晶向： [001] [010] [100]
[110] [1 1 0] [10 1] [112] 请绘出下列晶面： (001) (010) (100) (110) (1 1 0) (10 1) (112)
单胞
晶体结构与点阵的关系
-Fe
CsCl bcc
a a
a
a
simple cubic
a a
-Fe
Cu3Au
CuAu
fcc
a
a
c
a
a simple cubic
a a Simple tetragonal
aa
-Fe
NaCl
a a
a fcc
CaF2
ZnS
a a
a fcc
晶体结构是晶体的直接表达； 点阵是对晶体结构的数学抽象。
数学抽象
晶体法则结：构的周期性和对称性，
1. 一个或几个小球合并成一个数学点
由于2. 高各度阵对称点的的几何周关围系 环境相同， 它只结原果子能：或有原子1群4中具有类相型同的环境
得到
数学点的集合
得到
空间点阵
原子的具体排列方式
直接表达
数学抽象
晶体结构
空间点阵
提取
有代表性的、基本的单元
提取
晶胞
统称
晶胞
eg：
立方晶系中 [111],[111],[111],[111][111],[111][111],[111] 八个晶向是立方体中
四个体对角线的方向，其原子排列完全相同，属同一晶向族，故用<111>表示。
—— 加 < >
1. 立方晶系，数字相同，仅正负号、数字排序不同的属 同一晶向族
2. 一个晶向指数代表一系列相互平行、方向相同的晶向 3. 一个晶向族代表一系列性质地位相同的晶向
图 晶面指数的标定
晶面指数（h k l）
求法：定原点— 求截距 — 取倒数 — 化最小整数 — 加（）
例：
X 轴坐标 —— 1 Y 轴坐标 —— 1 Z 轴坐标 —— 1
111 ( 1 1 1)
求法：定原点— 求截距 — 取倒数 — 化最小整数 — 加（）
特点： 1. 直接表示任意晶面
2. 实际上表示所有相互平行的晶面
国际上通用米勒指数标定晶向和晶面。
（1801-1880，英国）
1.晶向指数的标定
晶体中点阵方向的指数，由晶向上 阵点的坐标值决定。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标 长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上； (2)确定该晶向上距原点最近的一个阵点P的三个坐标值(xa， yb，zc)； (3)将x，y，z化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = x∶y∶z； (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
立方晶系 ( Cubic)
Simple
Body centered
Face centered
a
a
a
a a
a a
a a
a = b = c, a = b = = 90
正方晶系 （ Tetragonal ）
Simple
Body centered
c
c
a a
a a
a = b c, a = b = = 90
1 -1 1 [ 111]
[1 10]
绘出[100]、[1 10] 晶向
绘出[231]、[321] 晶向
[100]
[231]
[2 1 1]
33
[231]
1 3
2 3
[231]
[100]
[321]
1 3
2 3
[1 10]
绘出[100]、[1 10] 晶向
绘出[231]、[321] 晶向
[231]
1 3
2 3
[231]
[2 1 1] 33
技巧：
[321]
[ 1 -2 1] 33
当晶向指数中有大于1的数时，
外延晶胞，直接求点
将指数化为分数
图 晶向指数的标定
晶向指数的说明：
a.指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b.负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c.晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的 一组晶向，用<uvw>表示。数字相同，但排列顺序不同 或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
[ 0 0 1]
求法：定原点 — 建坐标 — 求坐标 — 化最小整数 — 加[ ]
特点：1. 直接表示任意两点连线的方向
2. 只表示方向，不表示长短 3. 实际上表示所有相互平行、方向一致的晶向
例：
[001]
[111]
[1 1 1]
X 轴坐标 —— 1 Y 轴坐标 —— -1 Z 轴坐标 —— 1
例：
[111] [1 11] [1 1 1] [11 1] = < 111 >
[1 1 1] [1 1 1] [1 1 1] [1 1 1]
[100] [010] [001] = < 100 >
[1 00] [0 1 0] [00 1]
晶体中点阵平面的指数，由晶面与三个坐
2.晶面指数的标定 标的截距值所决定。
1.2 晶体学基础 Fundamentals of crystallogphy
一、晶体与非晶体（Crystals versus non-crystals ）
固态物质
晶体 规则排列 各向异性 有确定的熔点
规则排列
突变
不规则排列
非晶体 不规排列 各向同性 无确定的熔点
渐变
不规则排列
不规则排列
1.晶体的定义 物质的质点(分子、原子或离子)在三维空间作有规律的 周期性重复排列所形成的物质叫晶体。具有各向异性。 可分为金属晶体、离子晶体、共价晶体和分子晶体四种。
划分
点阵类型
结果：
14种点阵类型
称作
布拉菲点阵
对称性
选取
晶胞
晶系 三斜 单斜 正交 六方 正方 菱方 立方
特征 a ≠ b ≠ c，α ≠ β ≠ γ a ≠ b ≠ c，α = γ = 90 °≠ β a ≠ b ≠ c，α = β = γ = 90 ° a＝b ≠ c，α = β = 90 °，γ=120 ° a＝b ≠ c，α =β = γ = 90 ° a＝b＝c，α =β = γ ≠90 ° a＝b＝c， α =β = γ = 90 °
a aa
晶体结构中的球代表实际的原子；
点阵中的球（阵点）代表一个或几个原子，是数学上抽象的点
晶体结构有无数多种 点阵只有14种。
a aa
请总结晶体结构与空间点阵的异同。 晶体结构中的小球、空间点阵中的小球分别代表什么？ 为什么不是每种晶系都有简单、底心、体心、面心点阵？ 如何表达复杂的晶体结构或点阵？ 如何清晰明了地分析、归纳晶体结构、点阵的共同特点？
z
c
a
x
y b
d 晶胞
a 原子堆垛模型
b 空间点阵 c 结晶格子—晶格
固定-抽象-连接-取最小的几何单元-晶胞
（2）晶格 将阵点用一系列平行直线连接起来，构成一空间格架叫晶格。 （3）晶胞 从点阵中取出一个仍能保持点阵特征的最基本单元叫晶胞。 在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的是小平行六面体 。 整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。
（a）
Z
βα
Xb
（b） 简单立方晶体 （a） 晶体结构 （b） 晶格 （c） 晶胞
γ （c）
c aY
2.晶胞的选取原则：
（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性； （2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多； （3）当棱间呈直角时，直角数目应最多； （4）满足上述条件，晶胞体积应最小。
图 晶胞的选取
图 布拉菲点阵
晶体结构和空间点阵的区别
晶体结构是原子晶核体＋电中子云实际质点 简化
（原子、离子原或子分子）的具 体排列情况，它抽们象 能组成各 种类刚球型的排列，因此，小球实＋际棍 存刚在球模的型晶体结构是无限球棍的模。型
表征
原子的具体排列方式
即
晶体结构
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵原是子的晶具体体排中列质方式点排列的 几何学抽象，晶体用结以构 描述和分析
2. 非晶体 非晶体在整体上是无序的 ；近程有序 。实际为一种过 冷液体。具有各向同性。
隋性气体无规则排列
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序 金属及其他许多材料的长程有序排列
图 材料中原子的排列
二氧化硅结构示意图
a)晶态
b)非晶态
3. 晶体的特征
（1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定 的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周期 ） 液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是 不同的 ：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、 光学性质 ）。
3. 描述晶胞的六参数
晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它 包括晶胞的各边长度和各边之间的夹角。
图 晶胞、晶轴和点阵参数
三、晶系和布拉菲点阵
1.晶系
根据晶胞外形即棱边长度关系和晶轴之间的夹 角情况对晶体分类。可将晶体划分为7个晶系