利用换元法解分式方程的四种常见类型
一、直接换元 例1 解方程015)1
(2)1(2=----x x x x . 解：设
y x x
=-1
，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .
当3-=y 时，31
-=-x x ，解得 43=x ；
当5=y 时，51=-x x ，解得 45
=x .
经检验，4
5
,4321==x x 是原方程的根.
二、配方换元
例2 解方程 1)1
(3)1(22
2
=+-+
x x x
x . 解：原方程配方，得 05)1
(3)1(22=-+-+x
x x x .
设,1y x
x =+则05322
=--y y .
解得 25
,121=-=y y .
当1-=y 时，,11-=+x
x 即012
=++x x .
因为0311412
<-=⨯⨯-=∆， 所以方程012
=++x x 无实数根.
当25=y 时，,2
51=+x x 即02522
=+-x x . 解得 21
,221==x x .
经检验，2
1
,221==x x 是原方程的根.
三、倒数换元
例3 解方程
031
)
1(21122=-+++++x x x x . 解：设
y x x =++1
12，则原方程可化为032
=-+y y .
去分母，整理，得0232
=+-y y ，解得 2,121==y y .
当1=y 时，
11
1
2=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .
当2=y 时，
21
1
2=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .
经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元
例4 解方程12
22
242
2
=+-+
-x x x x . 解：原方程可变形为052
22
)22(22
2
=-+-+
+-x x x x . 设y x x =+-222
，则原方程可化为052
2=-+
y
y . 去分母，整理，得02522
=+-y y . 解得 2
1,221=
=y y . 当2=y 时，2222
=+-x x ，即022
=-x x . 解得 2
1,021==x x . 当21=
y 时，2
1222
=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2
<-=⨯⨯--=∆， 所以方程03242
=+-x x 无实数根. 经检验，2
1
,021=
=x x 是原方程的根. 例1 解方程
分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。

解设，于是原方程变形为
解得
例2 解方程
分析方程左边分式分母为，可将右边看成一个整体，然后用换元法求解。

解设，则原方程变形为
例3 解方程
分析这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。

解原方程为
例4 解方程解设
练习：
1. 解方程
2. 解方程
3. 解方程
提示：1. 设
2.
3. 设。

二次根式
一、知识要点概述
1、二次根式：式子叫做二次根式．
2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4、二次根式的主要性质
5、二次根式的运算
(1)因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．
(2)有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．
(3)二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．
(4)二次根式的乘除法
二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．
(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二、典例剖析
分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．
例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）
A．B．－C．D．－
分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．
说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．。