第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点
第一阶 解析函数的罗朗展式
一、双边幂级数
212
00102002
00()()()()()
n n n n n c c c z z c c z z c z z c z z z z z z ∞
--=-∞
-=+-+-+-+
++--∑L L 定理 双边幂级数
()
n
n
n c z z ∞
=-∞
-∑的收敛圆环为:H r z a R <-<，则该级数满足
（1） 在H 内绝对且内闭一致收敛于函数()f z 。

（2）函数()f z 在H 内解析 （2） 在H 内可逐项求导 （4）可沿H 内的曲线逐项积分。

定理 在圆环:H r z a R <-<内解析的函数()f z 可展为双边幂级数
()
n
n
n c z z ∞
=-∞
-∑，其中
11()
2()
n n f c d i a ζζπζ+Γ=
-⎰ （0,1,2,n =±±）Γ为圆环内的圆周a ζρ-=，并且展式是唯一的。

例如 将函数1
()(1)(2)
f z z z =
--在以下三个圆环内展成罗朗展式
（1）1z <， （2）12z << （3）21z <<+∞。

解11()21
f z z z =
--- （1）10
111111()()(1)2112212
n n n f z z z z z z ∞
+==
-=-=-----∑。

（2）1101011111111111()()1212222112n n n n n n n n n z z f z z z z z z z z
z ∞∞∞∞
-+=====
-=-=-=-----∑∑∑∑。

（3）1002111111121121()212111n n n n n
n n n f z z z z z z z z z z z z
-∞∞∞
===-=-=-=-=----∑∑∑。

二、 解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式
定义 如果函数()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内解析，点a 是奇点，则称a 是()f z 的孤立奇点。

如果z a =为()f z 的孤立奇点，则必存在正整数R ，使得()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内展为罗朗展式。

例如 1
()(1)(2)
f z z z =--在z 平面内只有两个奇点1,2z z ==，试分别求()f z 在此两点去心邻域内的
罗朗展式。

解（1）在011z <-<内，0
111111
()(1)(1)(2)121(1)11n n f z z z z z z z z z ∞
=---==+=+=----------∑
（2）在021z <-<内，0
1111
()(1)(2)(1)(2)2212n n n f z z z z z z z ∞
===-+=-------+-∑
（3）在∞点的去心邻域11z <-<+∞内，
1
01
11111111111()()()1121(1)111111111
n n n n f z z z z z z z z z z z z ∞∞+==----=+=+=+=+=-------------∑∑ （3） 在在∞点的去心邻域12z <-<+∞内
101
111111111()(1)()()122122222212
n
n n n n f z z z z z z z z z z ∞∞+===-=-=--=---+------+-∑∑。

例如 sin ()z
f z z
=
在z 平展式为面上只有点奇0z =，在去心邻域0z <<+∞内的罗朗 20
(1)()(21)!n n
n z f z n ∞
=-=+∑ 。

例如 1z
z
e e +在z 展式为面上只有点奇0z =，在去心邻域0z <<+∞内的罗朗为
1
11
1
!!n z
z
n
n n z e e n n z ∞
∞==+=+∑∑。

第二阶 解析函数的孤立奇点
一、孤立奇点的三种类型
000
1
()()()n
n
n
n n n n n n c z z c z z c z z ∞
∞
∞
--=-∞
==-=-+-∑∑∑。

前部分叫正则部分，后部分叫主要部分。

1.可去奇点
定义 设a 为函数()f z 的孤立奇点，则（1）如果()f z 在a 点展式的主要部分为零，则称a 为函数()f z 的可去奇点。

例如sin ()z
f z z
=
在0z =点。

定理 如果z a =是()f z 的可去奇点，则下列三条等价：
（1） 如果()f z 在a 点展式的主要部分为零。

（2）lim ()z a
f z b →= （3）在z a =的邻域有界。

2．极点
如果()f z 的主要部分为有限项 122()()
m
m
c c c z a z a z a ---++---L ，就称a 为函数()f z 的m 阶极点。

一阶极点又叫单极点。

例如1
()(1)(2)
f z z z =
--，在1,2z z ==点。

定理 如果a 为()f z 的m 阶极点，则
（1）()f z 在点a 的主要部分有m 项。

（2）()f z 在点a 的去心邻域内能表成()
()()m
z f z z a λ=
-，其中
()0a λ≠，且在a 的邻域内解析。

（3）
1
()
f z 以点a 为m 阶零点。

定理 a 为()f z 的m 阶极点的充要条件是lim ()z a
f z →=∞。

例如 2
51
()(1)(21)z f z z z +=
-+的一阶极点为1z =，二阶极点为12z =-。

3. 本性奇点
如果()f z 的主要部分为无限项，则称称a 为函数()f z 的本性奇点。

例如1
z
z
e e +在z 面上的展式含有z 的负指数幂有无限项。

因此只有本性奇点0z =。

定理 a 为()
f z 的本性奇点的充要条件是lim ()z a
f z →不存在。

定理 a 为()f z 的本性奇点，则a 也为
1
()
f z 的本性奇点。

第三阶 解析函数在无穷远点的性质
定义 如果函数()f z 在无穷远点的邻域内解析，就说∞点是()f z 的孤立奇点。

例如 2()21f z z z =++，在整个有限复平面解析，所以∞点是()f z 的孤立奇点。

例如 1
()(1)(2)
f z z z =
--在2z <<+∞内解析，所以∞点是()f z 的孤立奇点。

说明 : 无穷原点的罗朗展式是关于0z z -=的正整数幂或负整数幂。

例如 2()21f z z z =++在无穷远点的罗朗展式是2()12f z z z =++
1
()(1)(2)
f z z z =
--在无穷远点的罗朗展式如下：
111000
111111211
()(21)212111n n n n n n n n f z z z z z z z z z z
+∞+∞+∞
+++====-=-=-=-----∑∑∑
定义 设1z z
'=，1
()()z f z ϕ'=，则()z ϕ'在0z '=奇点分类就是()f z 在无穷远点相应的分类。

例如 求出函数tan(1)
()1
z f z z -=-的奇点。

解tan(1)sin(1)
()1(1)cos(1)
z z f z z z z --=
=---，1z =是可去奇点，211(0,1)2k k z k π+=+=±
为一阶极点，z =∞为这些极点的聚点，不是孤立奇点。

例如 问1
()sec
1f z z =-在1z =的去心邻域能否展为罗朗级数？ 解 11()sec 11cos 1f z z z ==-- ，奇点为1
11()2
k z k π=++ (0,1)k =±，1z =是奇点的聚点
因此()f z 在1z =的去心邻域不能展为罗朗级数。