10
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
由有界性判断：若f(z)在点z0的去心邻域内有界
z 2! 3!
z
(z) 解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 点 z为0 的f (z) 阶极m 点的充要条件为
z0
是 1的
f (z)
阶m零点。
推论2 若点 z0为函数 fk的(z) 阶m零k点(k=1,2)，则
z
k
是
sin
z的一阶零点，即
1 sin
z
的一阶极点.
21
例3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级
数
（2） f2(z) sin z z 12 z 13
解： 显然 z 和1 z是 函1数 的孤f2立(z)奇点，分别取
和
2(z)
sin z
z 13
2(z)
sin z
z 12
则可见z=1和z=-1分别是f2(z)的二阶极点和三阶极 点。
则孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
1
例如， e z
1
z 1
1
z2
1
zn
,
2!
n!
含有无穷多个z的负幂项 (0 z )
1
所以 z 0 为本性奇点， 同时 lim e z 不存在. z0
特点: 在本性奇点的邻域内 lim f (z)不存在且不 z z0 为.
25
例
f (z) e1/ z , z0 0 为f(z)的本性奇点，因为：
z=a
亦必为φ（z）=
1 的本质奇点。 f(z)
26
魏尔斯特拉斯定理
如果a为函数f(z)的本质奇点，则对于任何常数A,不管它是 有限数还是无穷，都有一个收敛于a的点列 {z_n} , 使得
lim f z A
z _ na
Picard 定理（198）
27
综上，当z0为f(z)的孤立奇点时，可用极限
例
有理分式函数
f (z)
3z 2 z2(z 2) ,
z 0是二级极点, z 2 是一级极点.
16
由定义判别：f (z) 的Laurent展开式中含有z z0
的负幂项为有限项.
由定义的等价形式判别：在点 z0的某去心邻域内
(z)
f (z) (z z0 )m
其中 (在z) 的z0邻域内解析, 且
lim
zz0
f
z
值存在有限、为 、不存在，来区分奇点是可
去奇点、极点还是本性奇点。
28
综上所述: 孤立奇点 可去奇点
Laurent级数的特点 无负幂项
lim f (z)
z z0
存在且为 有限值
含有限个负幂项
m级极点 关于(z z0 )1的最高幂
为 (z z0 )m
本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在
当z x 0, 有f (z) ；当z x 0, 有f (z) 0；
当z iy 0, 有f (z) cos 1 i sin 1 无极限。
y
y
于是当z 0, f(z)无极限，也不以 为极限。
1
ez
1 zn
n0 n!
定理 若z = a为f(z)的本性奇点，且在点的充分小去心
邻域内不为零，则
22
（4）
ez f4(z) z(ez 1)
解： 点 z0 为 0 f的(z)一 级z 零点; 函数
ez 1
的零点为 zk 2，ki k 0且,1,2,
(e z 1)' e z
在这些点处不为零，由定理，这些点为函数
ez 的1 一级零点。由定理2的推论2， z0 为0 函数 的二z(e级z 零1)点，又由推论1及其注意， 它为 的二
29
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 z
的可去奇点.
另解
因为
ez lim
1
lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 ez 1 z
的可去奇点.
9
由于z=0为函数 f (z) (ez 1) 的z 可去奇点， 且当z→0时，f(z)→1，因此可补充定义 f(0)=1， 使 f(z) 在整个复平面上处处解析。
z0为函数 f1(z) f的2(z) 阶m1零 m点2 ；当
z0为函数
f1 ( z的)
f2(z)
m阶2 极m点1 。
时，m1 m2
注意： 若函数 g(在z) 点 解z析0 ， g，(z0则) 当0
z0
为函数 f (z的) 阶m零点或 阶m极点时， 也分z0
别是函数 f (z)g的(z) 阶m零点或 阶极m点。
级极f4(点z) ，而 为 f4(z的) 简单极点。
zk 2ki, k 1,2,
23
练习
求
z3
1 z2
z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
级数.
答案
由于
z3
1 z2
z1
1 (z 1)(z 1)2
,
所以 : z 1是函数的一级极点,
z 1是函数的二级极点.
24
3 本质（性）奇点
若Laurent级数中含有无穷多个 z z0 的负幂项,
20
上述定理为判断函数的极点提供了一个较为简 便的方法.
1 例2 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出
它的阶.
解 函数的奇点是使 sin z 0 的点,
这些奇点是 z k (k 0, 1, 2 ) 孤立奇点.
因为 (sin z) zk cos z zk (1)k 0,
所以
即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 ) (m 1, cm 0)
那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的(m级)极点.
13
由极点的定义
f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 )
则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规
定 f (z0 ) c0
8
例 说明 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
1 1 z 1 zn1 , 0 z
在 z z0 内是解析函数, 且 (z0 ) 0
由此可得：
z0 为函数 f (z) 的m级极点的充要条件是
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
这里 z0 为函数 (z) 的解析点，并且有 (z0 ) 0
15
由此也得：
z0 为函数 f (z) 的极点的充要条件是
lim f (z) .
zz0
(z0 ) 0.
由极限判别：lim f (z) 判断 . z z0
17
例如 z0 是i 函数
f
(z)
(z2
1 1)2
cos
z
的二级极点，这里
z
z
1
i2 cos
z
18
例1
问
z 0是
ez 1 z2
的二级极点吗?
解
ez
z2
1
1 z2
n0
zn n!
1
1 1 z 1(z),
函数的孤立奇点及其分类(P193)
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
1
一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在 z0不解析, 但 f (z)在
z0 的某一去心邻域 0 z z0 内处处解析, 则
(k 1, 2, )
k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
3
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点
z
为函数
0
f的(z)孤立奇点，则在点
某去z 0
心邻域
0 内z 可z设0 的Laurefn(tz级) 数展开式
为
f (z) cn (z z0 )n
|f(z)|≤|z|且有|f'(0)|≤1
特别的，如果上式等号成立或存在圆内一点z0 使得|f(z0)|=|z0 |,则有f(z)= eiαz(|z|<1)
12
2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m ,
6