第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点上一章主要介绍了函数在解析点的邻域(圆)内，可以展开成通常的幂级数,但在奇点的领域内则不能，例如函数在点，现在我们考虑挖去了奇点的圆环，并讨论在圆环内解析函数的级数展开。

这样将得到推广的幂级数——Laurent（罗朗）级数。

它既可以是函数在孤立奇点去心领域内的Laurent 展式，反过来，以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。

Taylor 级数与Laurent 级数都是研究解析函数的有力工具。

第一节 解析函数的罗朗展式教学课题：第一节 解析函数的洛朗展式教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。

教学过程：1、双边幂级数在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。

首先考虑级数...)(...)()(0202010+-++-+-+------nn n z z z z z z ββββ其中,...,...,,,100n z --βββ是复常数。

此级数可以看成变量1z z -的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R 。

如果0R <<+∞，那么不难看出，此级数在Rz z 1||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛，在Rz z 1||0<-内发散。

同样，如果+∞=R ，那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。

在上列情形下，此级数在0z z =没有意义。

于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在0||)0(1||010>-+∞<<=>-z z R R Rz z 及内收敛于一个解析函数。

2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数,)(0∑+∞-∞=-n n nz z β这里0,(0,1,2,...)n z n β=±± 是复常数。

当级数,)()(10∑∑-∞-=+∞=--n nn n nn z z z z ββ及 都收敛时，我们说原级数∑+∞-∞=-n n nz z )(0β收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。

设上式中第一个级数在20||R z z <-内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在10||R z z >-内绝对收敛并且内闭一致收敛。

于是两级数的和函数分别20||R z z <-及10||R z z >-在内解析。

又设21R R <，那么这两个级数都在圆环201||:R z z R D <-<内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数∑+∞-∞=-n nn z z )(0β在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。

我们称级数∑+∞-∞=-n n nz z )(0β为洛朗级数。

因此，洛朗级数的和函数是圆环D 内的解析函数，我们也有定理5.1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:21201+∞≤<≤<-<R R R z z R D内解析，那么在D 内,)()(0∑+∞-∞=-=n n nz z z f α其中，,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+γζζζπαn d z f i n nγ是圆ρρ,||0=-z z 是一个满足21R R <<ρ的任何数。

证明：设z 是圆环D 内任一点，在D 内作圆环102':'||'D R z z R <-<，使得'D z ∈，这里2211''R R R R <<<。

用'2'1ΓΓ及分别表示圆'||'||2010R z z R z z =-=-及。

由于)(ζf 在闭圆环'D 上解析，根据柯西定理，有⎰⎰ΓΓ---='1'2)(21)(21)(ζζζπζζζπd zf i d z f i z f ，其中积分分别是沿'2'1ΓΓ及关于它们所围成圆盘的正向取的。

当'2Γ∈ζ时，级数∑∞+=+--=---⋅-=---=-010000000)()(111)(11n n nz z z z z z z z z z z ζζζζζ一致收敛；而当'1Γ∈ζ时，级数∑+∞=+--=----=--0100000)()()1)((11n n n z z z z z z z z z ζζζ 一致收敛。

把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f (z )有展式,)()(0∑+∞-∞=-=n n nz z z f α其中，,...)2,1,0(,)()(21'210⎰Γ+=-=n d z f i n n ζζζπα,...)2,1(,)()(21'110⎰Γ+--=-=n d z f i n nζζζπα 由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。

注解1、由于函数f (z )的解析区域不是单连通区域，所以公式,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+γζζζπαn d z f i n n 不能写成：.!)(0)(n z f n n =α 注解2、我们称∑+∞=-00)(n nnz z α为f (z )的解析部分，而称∑-∞-=-10)(n n n z z α为其主要部分。

注解3、我们称,)(0∑+∞-∞=-n n nz z α为f (z )的洛朗展式。

定理5.2 设洛朗级数∑+∞-∞=-n nnz z )(0β在圆环)0(||:21201+∞≤<≤<-<R R R z z R D中内闭一致收敛于和函数g (z )，那么此展式就是g (z )在D 内的洛朗展式：.)()(0∑+∞-∞=-=n nn z z z g β证明：现在把系数用g (z )计算出来。

在D 内任取一圆)(|:|210R R z z <<=-ρργ，用乘10)(21---k z z iπ以定理中展式的两边，然后沿γ求积分。

由于所讨论的级数在γ上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有,...)2,1,0()(21)()(211010±±==-=-⎰∑⎰--+∞∞-+k dz z z i dz z z z g i k k n k k βπβπγγ 这里因为上式中求和记号∑+∞∞-后各项只有在n=k 时不为零，因此定理的结论成立。

注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明，g (z )在D 内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理：推论5.1 在定理5.1的假设下，f (z )在D 的洛朗展式式唯一的。

例1、 求函数)2)(1(1--z z 分别在圆环1<|z |<2及+∞<<||2z 内的洛朗级数展式。

解：如果1<|z |<2，那么,1|1|,1|2|<<zz 利用当1||<α时的幂级数展式 (111)2+++++=-n αααα我们得1121)2)(1(1---=--z z z z ;12)11(1)21(21101∑∑+∞=+∞=+-=----=n n n n n zz zz z 如果+∞<<||2z ，那么,1|1|,1|2|<<zz 同样，我们有 1121)2)(1(1---=--z z z z 11112112121.21(1)(1)n n n n nn n n z z z z z zz--+∞+∞+∞===--=-=-=--∑∑∑ 例2、2sin z z 及zzsin 在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式是： ...)!12()1(...!5!31sin 1232++-+-+-=-n z z z z z z n n ...)!12()1(...!5!31sin 242++-+-+-=n z z z z z nn 例3、z e1在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式是：...1!1...1!211121+++++=nzz n z z e 。

例4、求函数)3)(1(12--z z 在圆环1<|z |<3内的洛朗级数展式。

解：由于1<|z |<3，那么,1|3|,1|1|<<zz 利用当1||<α时的幂级数展式 (111)2+++++=-n αααα我们得)1331(81)3)(1(122-+--=--z z z z z )13131(8122-----=z z z z ，而 ;331)31(31310∑+∞=-=--=-n nnz z z ;11)11(111022222∑+∞==-=-n n z z z z z 所以，有2121220001113().(1)(3)83n n n n n n n z z z z z+∞+∞+∞+--====-----∑∑∑第二节 解析函数的孤立奇点教学课题：第二节 解析函数的孤立奇点 教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型；2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的所有情况；4、充分理解关于本性奇点的两大定理。

教学重点：孤立奇点的三种类型教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。

教学过程：1、解析函数的孤立奇点：设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内确定并且解析，那么我们称0z 为f (z )的孤立奇点。

在D 内，f (z )有洛朗展式,)()(0∑+∞-∞=-=n n nz z z f α其中,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+ρζζζπαC n n n d z f iρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。

,)(00∑+∞-=-n nnz z α为f (z )的正则部分，,)(10∑+∞=---n n n z z α为f (z )的 主要部分。