§2 解析函数的孤立奇点 一、教学目标或要求：
掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
基本内容：解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明 重点：解析函数的孤立奇点的分类 难点: 许瓦兹引理的叙述和证明 三、教学手段与方法： 讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习： 4－7
§2 解析函数的孤立奇点 1. 孤立奇点的三种类型
若为
的孤立奇点，则
在点的某去心邻域
内可以展开成
Laurent 展式 。

定义5.3 设点a 为函数)(z f 的孤立奇点：
(1)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent 展式不含负幂项），则称点a 为)(z f 的可去奇点；
(2)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为
0,)
()(1
1
)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称点a 为)(z f 的m 级（阶）极点；
(3)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a 为)(z f 的本性奇
点．
依定义，点0=z 为z z sin 的可去奇点，点0=z 为2e z
z
的二级极点，点1=z 为z z -1sin
的本性奇点． 2. 可去奇点
定理5.3 若点a 为)(z f 的孤立奇点，则下列三个条件是等价的： (1) 在点 的主要部分为0；
(2)
(3) 在点 的某去心邻域内有界。

证
由于
且
在
内解析，从而连续，故 。

由于
,故
取 ，则
,
即得。

设
，
考虑
在 的
主要部分
则
对 成立，故当 时， 即得。

3.Schwarz 引理
如果函数)(z f 在单位圆1||<z 内解析，并且满足条件
),1|(|1|)(|,0)0(<<=z z f f
则在单位圆1||<z 内恒有|,||)(|z z f ≤ 且有1|)0('|≤f 。

如果上式等号成立，或在圆1||<z 内一点00≠z 处前一式等号成立，则
)1|(|)(<=z z e z f ia ，其中a 为一实常数。

证 设
，令
由于在
内,作为和函数 是解析,又当
时，
，在
时，
，故在内,
,于是在 内,
是解析的。

任取
,若满足条件
,则根据最大模原理,
令
,则
,从而
,又
，即。

由于
时
，故
，又，故可统一成（1）的
形式。

当3)或4)成立时,由最大模定理 在 或0点
取到
了最大模，因此 常数 ，使
，即
，故。

4. 极点 定理
5.4 若
以为孤立奇点,则下列三个条件是等价的:
(1) 在点的主要部分为；
(2) 在点的某去心邻域内能表示成，其中在点的
邻域内解析且；
(3) 以为级零点(可去奇点要当作解析点看，只要令。

证“”在点的某去心邻域、内有
其中
在的邻域上解析，且
在的某去心邻域中，，其中在
内解析且，故在点连续，从而存在中的某一个邻域，
其上，从而在上解析，故由可去
奇点的特征知，为的可去奇点，令，则以为级零点。

若以为级零，则在的某个邻域内，
，其中在上解析,且,于是存在的某个邻域
,其上,于是在上解析,故有Taylor展式:
故
定理5.5的孤立奇点为极点.
证根据定理5.4，以为极点
以零点。

例求的奇点,并确定其类型。

解的奇点为，由于以为一级零点,
以为二级零点,故以为一级极点，以为二级极点。

例求的全部有限奇点。

并确定其类型。

解的全部有限奇点为,由于为的聚点，
故为的非孤立奇点。

现考虑为的几级零点。

故为的一级零点，从而为的一级极点。

5.本性奇点
定理5.6的孤立奇点为本性奇点
，
即不存在。

证由于的孤立奇点为可去奇点为为极点
，即得。

定理 5.7若为的孤立奇点,且在的充分小的去心邻域内不为0,则也为的本性奇点。

证令则由为的孤立奇点，且在的充分小的可去邻域内
知为的孤立奇点。

若为的可去奇点，则
；若则此时为的极点,与已知矛盾；若,则,此时为的可去奇点, 也与已知矛盾。

若为的极点,则,从而，即为的可去奇点，与已知矛盾。

综合知，只能是的本性奇点。

例 为的本性奇点，因为不存在。

6．毕卡定理
定理 5.8 如果点a 为)(z f 的本性奇点，则对于任何常数A ，不管它是有限数还是无穷，都有一个收敛于a 的点列}{n z ，使得
A z f n =)(lim .
换句话说，在本性奇点的无论怎样小的去心邻域内，函数)(z f 可以取任意接近于预先给定的任何数值（有限的或无穷的）。

证 “
” 当
时,由于为
的本性奇点，故一定不是
的可去
奇点,由定理 5.3，在的任何一个去心邻域内无界，对任意的
都存在
则
当
时,若在的任意小去心邻域内都有某一点使
,则结论已
得。

若的充分小去心邻域
内,令则在
内解析。

由于为
的本性奇点,也为的本性奇点,由定理 5.7,为的本性奇点，类似于中的证明由不是
的可去奇点知，存在
点列
从而
根据已知条件得
不存在，由定理5.6即得。

例 设1)e 1(5)(-+=z z f ，试求)(z f 在复平面上的奇点，并判定其类别． 解 首先，求)(z f 的奇点．)(z f 的奇点出自方程0e 1=+z 的解．解方程得)1(Ln -=z ,2,1,0,i π)12(±±=+=k k
若设),2,1,0(i π)12( ±±=+=k k z k ，则易知k z 为)(z f 的孤立奇点．另外，因
0)e 1(,0)
e 1(≠'
+=+==k
k
z z z z z z
所以，由零点的定义知k z 为z e 1+的一级零点．从而知),2,1,0( ±±=k z k 均为
)(z f 的一级极点．
⎰⎰
∞
+∞-+++-=t t
t t t t x x x d 12
)12,11(Ra d )sin ,(cos Ra 2222π
20
例 求出1sinz -的全部零点和级别。

解：由1sinz -=0 解此方程.即 i l l iz
iz 2--=1
即 iz e -iz
e -zi=0
两边同乘以iz e 得iz e -2i iz
e -1=0 即 ()
02
=-i
e
iz
，从而有iz e =I
令iy x z +=即有()
i e
iy x i =+ , 即 i e y ix =-，从而有 o y =，
22π
π+
=k x 。

故
(2
2=+
=k k z k π
π，±1，…)为sin 1-z 的全部零点。

又
(sin 0cos )1'
==-=zk
z z z
()1sinz 1sinz zk z '
'-=-=-=，
因此，
(2
2=+
=k k z k π
π，±1，…)是)(z f 的二级零点。

例 求函数)(z f ＝
πk z k 1
=
(k=±1,…) 0=z
是)(z f 的奇点，其中k z 是
孤立奇点，因为
=
→z
1sin 1lim
k
z z ∞，且()ππk k z z z k
111cos
.1
1sin 2'
-=-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛≠0 故
πk z k 1=
是)(z f 的一级极点。

又01lim lim k ==∞→∞→πk z k k ,因此，
0=z 是{}k z 的聚点, 故0=z 是非孤立零点。

课后讨论
1.到目前为止，我们学过了解析函数的哪些表达式？
2.何谓解析函数的零点？零点是否必是解析点？
urent展开的条件是什么？有哪些展开方法？
4. 将函数以z=0为中心进行Laurent展开和在z=0的去中心领域中进行Laurent展开有区别？为什么？
5.在单连通区域内解析的函数的Taylor展开和Laurent展开是否一样？在复通区域中解析的函数呢？试举例说明。

6.以下推理是否正确？为什么？
因为Laurent展开的系数公式为
故由解析函数的高阶导数公式（1.2.18）有
以为中心的Laurent展开式为
7.易于得到，函数
和
还是否与Laurent展开的惟一性相矛盾
8.何谓孤立奇点？何谓非孤立奇点？孤立奇点又分为哪几类？
9.试小结判定奇点类型的方法，并用你所小结归纳的方法判定，函数，
的诸奇点各属哪类？
的解析性与奇点分类与函数的解析性与奇点分类之间
10.函数
有什么关系？
11.对于为孤立奇点，如何对其进行分类？
12.函数
在的去心邻域能否展开为Laurent级数？为什么？。