基本不等式
1.函数y =x +1
x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞)
D .(2,+∞)
2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②
a +
b ab
≤2;③x 2+1
x 2+1≥1,其中正确的个数是
,
( ).
A .0
B .1
C .2
D .3
3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x +
1
x -2
(x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). `
A .1+ 2
B .1+ 3
C .3
D .4
5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1
t
的最小值为________. 利用基本不等式求最值
【例1】►(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1
y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )=
2x
x 2+1
的最大值为________. *
【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x +1
x -1的最小值为________.
(2)已知0<x <2
5,则y =2x -5x 2的最大值为________.
(3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________.
利用基本不等式证明不等式
【例2】►已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab
c ≥a +b +c .
》
【训练2】 已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1. *
求证:1a +1b +1c ≥9.
}
利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】►(2010·山东)若对任意x >0,x
x 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是
________.
【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x >0,y >0,xy =x +2y ,若xy ≥m -2恒成立,则实数m 的最大值是________.
[
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5 m .房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m ,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低
#
(2010·四川)设a >b >0,则a 2+1
ab +
1
a a -b
的最小值是( ).
A .1
B .2
C .3
D .4
{
双基自测
~
1.答案 C
2.解析 ①②不正确,③正确,x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1
-1≥2-1=1.答案 B 3.解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2,∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤1
2.答案 A
4.解析 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+1x -2+2≥2 x -2×1
x -2
+2
=4,当且仅当x -2=1
x -2
(x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,x
=3,即a =3.答案 C
5.解析 ∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1
t -4≥2-4=-2,当且仅当t =1时取等号.答案 -2 …
【例1】解析 (1)∵x >0,y >0,且2x +y =1,
∴1x +1y =2x +y x +2x +y y =3+y x +2x y ≥3+2 2.当且仅当y x =2x
y 时,取等号.
(2)∵x >0,∴f (x )=2x x 2+1
=2x +1x ≤22=1,当且仅当x =1
x ,即x =1时取等号.答案
(1)3+22 (2)1
【训练1】.解析 (1)∵x >1,∴f (x )=(x -1)+
1
x -1
+1≥2+1=3 当且仅当x =2时取等号.(2)y =2x -5x 2=x (2-5x )=15·5x ·(2-5x ),∵0<x <2
5,∴5x <2,2-5x
>0,∴5x (2-5x )≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x +2-5x 22
=1,∴y ≤15,当且仅当5x =2-5x , 即x =15时,y max =15.(3)由2x +8y -xy =0,得2x +8y =xy ,∴2y +8
x =1, 】
∴x +y =(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x +2y =10+8y x +2x y =10+2⎝ ⎛⎭⎪⎫
4y x +x y ≥10+2×2× 4y x ·x y =18, 当且仅当4y x =x
y ,即x =2y 时取等号,又2x +8y -xy =0,∴x =12,y =6,
∴当x =12,y =6时,x +y 取最小值18.答案 (1)3 (2)1
5 (3)18
【例2】证明 ∵a >0,b >0,c >0,∴bc a +ca
b ≥2 b
c a ·ca b =2c ;bc a +ab c ≥2 bc a ·ab c
=2b ;ca b +ab c ≥2 ca b ·ab c =2a .以上三式相加得:2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
bc a +ca b +ab c ≥2(a +b +c ),即bc a +ca b +ab
c ≥a +b +c .
【训练2】 证明 ∵a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1,∴1a +1b +1c =a +b +c
a +a +
b +
c b +a +b +c c =3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫c a +a c +⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c b +b c ≥3+2+2+2=9,当且仅当a =b =c =1
3时,取等号.
解析 若对任意x >0,x x 2+3x +1≤a 恒成立,只需求得y =x
x 2+3x +1
的最大值即
可,因为x >0,所以y =x x 2+3x +1=1x +1x +3≤12 x ·
1
x
=1
5,当且仅当x =1时取
等号,所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫15,+∞ 【训练3】解析 由x >0,y >0,xy =x +2y ≥2 2xy ,得xy ≥8,于是由m -2≤xy 恒成立,得m -2≤8,m ≤10,故m 的最大值为10.答案 10
【例3.解 由题意可得,造价y =3(2x ×150+12x ×400)+5 800=900⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x +16x +5
800(0<x ≤5),则y =900⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x +16x +5 800≥900×2x ×16x +5 800=13 000(元),
当且仅当x =16
x ,即x =4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造价最低. 【示例】.正解 ∵a >0,b >0,且a +b =1, ∴1a +2b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b (a +b )=1+2+b a +2a b ≥3+2 b a ·2a b =3+2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a +
b =1,
b a =2a b
,即⎩⎨⎧
a =2-1,
b =2-2时,1a +2
b 的最小值为3+2 2.
【试一试】尝试解答] a 2+1
ab +
1a a -b =a 2-ab +ab +1ab +1
a a -b
=a (a
-b )+1a a -b +ab +1ab ≥2 a a -b ·1a a -b
+2 ab ·1
ab =2+2=4.当且仅当a (a -b )=1a a -b
且ab =1
ab ,即a =2b 时,等号成立.答案 D。