a
rr
（2）方向：
当
0时，
a与a同向
rr
当 0时， ar与 ar异 向
r 当 0时， a 0
2、数乘向量的坐标运算 ： a （ x ， y ） （ x ， y ）
3、数乘向ar量的运算律ar：（ ） a ra ra r （ a r b r） a r b r
4、平面向量基本定理
u r u u r 如 果 e1， e2是 同 一 个 平 面 r内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于
（二）向量的减法
b a +b
1、作图 平行四边形法则：u A u B u r u A u D u r u D u u B rA a
C
b
B
C
B
2、坐标运算： 设 a （ x1， y1 ） ， b （ x2， y2）
则 a b （ x1x2， y1y2）
r
（三）数乘向量 λa(R)
r
r
1、 a 的大小和方向：（1）长度： a
例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解：法1 a=(x1y1) b=(x2,y2)
x12+y12=1
x22+y22=1
3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)
∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9
六、向量的长度
坐标表示
rr r r （ 1）ar a|a|2， | a |
r2 ar
（ 2 ） 设 a （ x ， y ） ， 则 | a | x 2 y 2
（ 七3 ） 、向A 量（ x 的若 1 ， 夹y 1 ） 角 B （ cox ， s2 ， y 2 ） | arar ||brbr | |A ， | xB 1（ 2xx1则 1xy 212x2） y21x y（ 222y1y22y2） 2
又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12
∴|3a+b|=2 3
u ru u r
例 6 、 设 re 1 ,u e u 2 u r 为 两 u u r 个 r单 位 u u 向 r量 u u ? r且 夹 角 r为 r6 0 o ? 若 a 2 e 1 e 2 ,b 3 e 1 2 e 2? 求 a 与 b 的 夹 角 .
3、数量积的坐标运算
B
abx1x2y1y2
θ
4、运算律: （1） abba O
B1
A
（ 2 ）（ a ） b（ ab ） a（ b ）
（ 3）a（ b） cacbc
平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
这 r一 平 u r面 内 u 的 u r任 一 向 量 a， 有 且 只 有 一 对 实 数 1 ， 2使 a1e12e2
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义： a b | a| | b| cos
2、数量积的几何意义：
r r r r
r
等 于 a 的 长 度 | a | 与 b 在 a 方 向 上 的 投 影 | b | c o s 的 乘 积 .
x1x2+y1y2=
1 3
3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)
|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2
=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12
∴(3a+b)=2 3
法2 9=9a2+4b2-12a·b
∴a·b=
1 3
特别注意：
ab0 cos0 为锐角 0 或
ab0 cos0 为钝角 或
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。
解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ=-1
∴
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。
a2=a·a=|a|2(a·a= a 2 )
④cosθ= a b
|a ||b |
⑤|a·b|≤|a|·|b|
四、向量垂直的判定
（ 1）abab0 向量表示 （ 2 ） a b x1x2y1y20坐标表示
五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1） r a/r /bba（ a0） 向r 量表示 r
（ 2 ） b / / a x 1 y 2 x 2 y 1 0 ， 其 中 a （ x 1 ， y 1 ） ， b （ x 2 ， y 2 ）
1、字母表示：AB或a A 2、坐标表示：
rrr axiyj （x，y）
OA（x，y）
B
y
y A (x,y) a
j
O ix
a
x
三、向量的运算
（一）向量的加法 u u u r u u u r u u u r 1、作图 三角形法则：A BB CA C a + b
平行四边形法则：
2、坐标运算： 设 a （ x1， y1 ） ， b （ x2， yA2） a 则 a b （ x1x2， y1y2） D
平面向量
复习课
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
向量的运算 向量的加法 向量的减法
基本应用 平行与垂直的条件
求长度
相等向量
实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积

一、向量的概念
向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、 相等向量、相反向量、向量的夹角等.
二、向量的表示