2018-2019学年湖北省荆州市松滋市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．若分式的值为0，则b的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．23．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy4．某小区要植一块三角形草坪，两边长分别是30米和80米，那么这块草坪第三边长可以是（）A．110米B．70米C．20米D．50米5．下列说法中，错误的是（）A．任意多边形的外角和都是360°B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．三角形任一边的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形D．三角形的中线、角平分线、高都是线段6．下列运算中，正确的是（）A．（﹣a2）4＝a6B．4a2+3a2＝12a2C．4a2•a5＝4a10D．7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB8．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H；下列叙述错误的是（）A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S＝BC•AH D．AH＝DH△ABC9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．15°C．25°D．20°10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别是80和38，则△EDF的面积为（）A．21B．38C．19D．40二、填空题（每小题3分，共24分）11．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝．12．科学家在实验室中检测出某微生物细胞直径约为0.0000028米，将0.0000028用科学记数法表示为．13．如果正n边形的一个内角等于与其相邻外角的2倍，那么n的值为．14．若（a﹣2018）a+2019＝1，则a＝．15．若，则分式的值为．16．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一点P，且OP＝20．在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是．17．如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝．18．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝a，则三角形A n B n A n+1的边长为．三、解答题（本大题满分为66分）18..19．（8分）计算：（1）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）（2）解方程：＝120．（8分）分解因式：（1）5x2+10x+5（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+2）21．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PC+PB的长度最小．22．（10分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年某月的日历，我们任意选择其中所示的“十”字形方框部分，将每个方框部分中四个位置上的数两两相乘，再相减，例如：12×14﹣6×20＝48，9×11﹣3×17＝48不难发现结果都是48．（1）请你在所给日历中再选择一个类似的部分在草稿上验证一下，再利用整式的运算对以上的规律加以证明．（2）若在此日历中任取三个连续的数，试判断这三个数的平方和被3除的余数是多少，并加以证明．23．（10分）某公司计划购买A、B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运15kg材料，且A型机器人搬运500kg的材料所用的时间与B型机器人搬运400kg材料所用的时间相同．（1）求A、B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料？（2）该公司计划采购A、B两种型号的机器人共10台，要求每小时搬运的材料不得少于700kg，则至少购进A型机器人多少台？24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：△ABD≌△ACE；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．25．（12分）如图，在直角坐标系中，长方形ABCD（每个内角都是90°）的顶点的坐标分别是A（0，m），B（n，0），（m＞n＞0），点E在AD上，AE＝AB，点F在y轴上，OF＝OB，BF的延长线与DA的延长线交于点M，EF与AB交于点N．（1）试求点E的坐标（用含m，n的式子表示）；（2）求证：AM＝AN；（3）若AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，动点P从B出发，以2cm/s的速度沿BC向C运动的同时，动点Q从C出发，以vcm/s的速度沿CD向D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年湖北省荆州市松滋市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．【解答】解：A，此图案不是轴对称图形，此选项符合题意；B、此图案是轴对称图形，此选项不符合题意；C、此图案是轴对称图形，此选项不符合题意；D、此图案是轴对称图形，此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．若分式的值为0，则b的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【分析】根据分式的分子为零分母不为零，可得答案．【解答】解：分式的值为0，得，解得b＝1，b＝﹣1（不符合条件，舍去），故选：A．【点评】本题考查了分式值为零的条件，分式的分子为零分母不为零是解题关键．3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【解答】解：A、2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．【点评】本题主要考查因式分解的意义，解决此类问题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．4．某小区要植一块三角形草坪，两边长分别是30米和80米，那么这块草坪第三边长可以是（）A．110米B．70米C．20米D．50米【分析】根据三角形的三边关系定理可得80﹣30＜x＜80+30，再解即可．【解答】解：由题意得：80﹣30＜x＜80+30，即：50＜x＜110，观察选项，B选项符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．5．下列说法中，错误的是（）A．任意多边形的外角和都是360°B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．三角形任一边的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形D．三角形的中线、角平分线、高都是线段【分析】分别根据三角形外角的性质、多边形外角的性质、三角形的面积及三角形的中线、角平分线及高线对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、任意多边形的外角和都是360°，符合多边形外角的性质，故本选项正确；B、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故本选项错误；C、三角形任一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，符合三角形中线的性质，故本选项正确；D、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，符合三角形的中线、角平分线、高线的定义，故本选项正确．故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的推论，多边形的外角和定理，三角形的有关概念，熟知三角形的内角与外角的关系是解答此题的关键．6．下列运算中，正确的是（）A．（﹣a2）4＝a6B．4a2+3a2＝12a2C．4a2•a5＝4a10D．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝a8，故A错误；（B）原式＝7a2，故B错误；（C）原式＝4a7，故C错误；故选：D．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H；下列叙述错误的是（）A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S＝BC•AH D．AH＝DH△ABC【分析】根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题．【解答】解：连接CD，BD．由作图可知：CA＝CD，BA＝BD，∴直线BC垂直平分线段AD，∴AH＝DH，＝•BC•AH，故A，C，D正确，∴S△ABC故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．15°C．25°D．20°【分析】利用全等三角形的性质即可解决问题；【解答】解：证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠CAD＝∠FBD，在△BDF和△ACD中，∴△BDF≌△ACD（AAS）∴∠DBF＝∠CAD＝25°，∵DB＝DA，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBF＝20°故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别是80和38，则△EDF的面积为（）A．21B．38C．19D．40【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF ＝S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF＝S△ADH，即38+S＝80﹣S，解得S＝21．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）11．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣1．【分析】根据零指数幂和平方差公式解答．【解答】解：原式＝1×（4a2﹣1）＝4a2﹣1．故答案是：4a2﹣1．【点评】考查了零指数幂和平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．12．科学家在实验室中检测出某微生物细胞直径约为0.0000028米，将0.0000028用科学记数法表示为 2.8×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000028＝2.8×10﹣6；故答案为：2.8×10﹣6．【点评】考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．如果正n边形的一个内角等于与其相邻外角的2倍，那么n的值为6．【分析】正多边形的内角都相等，因而每个外角也分别相等，每个相邻的外角，与内角一定互补，又有内角等于一个外角的2倍，就可以求出一个外角的度数．根据多边形的外角和是360°，就可以求出多边形的边数．【解答】解：设外角是x度，则内角是2x度，根据题意，得x+2x＝180，解得x＝60，所以n＝360÷60＝6．故答案为：6．【点评】本题考查的是多边形内、外角的知识，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键．14．若（a﹣2018）a+2019＝1，则a＝﹣2019，2019，2017．【分析】根据零指数幂的意义以及有理数的乘方即可求出答案．【解答】解：当a+2019＝0时，此时a＝﹣2019，∴a﹣2018≠0，故a＝﹣2019，当a﹣2018＝1时，此时a＝2019，∴a+2019＝4038，∴14038＝1，故a＝2019，当a﹣2018＝﹣1时，此时a＝2017，∴a+2019＝4036，∴（﹣1）4036＝1，故a＝2017，故答案为：﹣2019，2019，2017【点评】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义以及有理数的乘方，本题属于基础题型15．若，则分式的值为﹣7．【分析】根据分式的运算即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2y＝3x，∴y＝，∴原式＝＝﹣7故答案为：﹣7【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．16．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一点P，且OP＝20．在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是20．【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF＝PN．连接EF与OA 相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR＝EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．【解答】解：设∠POA＝θ，则∠POB＝30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM 延长一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF＝PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ＝QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR＝RP，∴△PQR的周长＝EF．∵OE＝OF＝OP＝20，且∠EOF＝∠EOP+∠POF＝2θ+2（30°﹣θ）＝60°，∴△EOF是正三角形，∴EF＝20，即在保持OP＝20的条件下△PQR的最小周长为20．故答案为：20【点评】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．17．如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝45°．【分析】根据勾股定理列式求出EB2、EC2、BC2，然后利用勾股定理逆定理解答，可得答案．【解答】解：如图，由勾股定理得，EB2＝12+22＝5，EC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，∴EB2+EC2＝BC2，∴△EBC是直角三角形，∵EB＝EC，∴△EBC是等腰直角三角形，∴∠α+∠β＝∠α+∠EBA＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理列式求出AB2、BC2、AC2，然后利用勾股定理逆定理解答．18．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝a，则三角形A n B n A n+1的边长为2n﹣1a．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4a，A4B4＝8B1A2＝8a，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝a，∴A2B1＝a，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4a，A4B4＝8B1A2＝8a，A5B5＝16B1A2＝16a，以此类推，△A n B n A n+1的边长为2n﹣1a，故答案为：2n﹣1a．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．三、解答题（本大题满分为66分）18..19．（8分）计算：（1）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）（2）解方程：＝1【分析】（1）根据整式的混合计算解答即可；（2）根据分式方程的解法解答即可．【解答】解：（1）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）＝4x2+9y2+12xy﹣（4x2﹣y2）＝10y2+12xy（2）2x（x﹣2）﹣6（2x+3）＝（2x+3）（x﹣2）经检验是原方程的解【点评】此题考查解分式方程，关键是根据整式的混合计算和分式方程的解法解答．20．（8分）分解因式：（1）5x2+10x+5（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+2）【分析】（1）原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（1）原式＝5（x2+2x+1）＝5（x+1）2；（2）原式＝a2﹣16+3a+6＝a2+3a﹣10＝（a﹣2）（a+5）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PC+PB的长度最小．【分析】（1）作出A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1即可．（2）作点C关于y轴的对称点C″，连接C″B交y于点P，点P即为所求，PC+PB的最小值＝BC″＝＝2．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．A（0，﹣1）B（3，﹣2）C（1，﹣4）．（2）作点C关于y轴的对称点C″，连接C″B交y于点P，点P即为所求，PC+PB的最小值＝BC″＝＝2．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（10分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年某月的日历，我们任意选择其中所示的“十”字形方框部分，将每个方框部分中四个位置上的数两两相乘，再相减，例如：12×14﹣6×20＝48，9×11﹣3×17＝48不难发现结果都是48．（1）请你在所给日历中再选择一个类似的部分在草稿上验证一下，再利用整式的运算对以上的规律加以证明．（2）若在此日历中任取三个连续的数，试判断这三个数的平方和被3除的余数是多少，并加以证明．【分析】（1）任选一个“十”字型的数字计算可得，再设这四个数为x﹣1，x+1，x﹣7，x+7，可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣7）（x+7），利用整式的混合运算顺序与运算法则计算可得；（2）设三个数为x﹣1，x，x+1，可得（x﹣1）2+x2+（x+1）2＝3x2+2，从而得出答案．【解答】解：（1）9×11﹣3×17＝99﹣51＝48，设这四个数为x﹣1，x+1，x﹣7，x+7，可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣7）（x+7）＝x2﹣1﹣（x2﹣49）＝x2﹣1﹣x2+49＝48．（2）设三个数为x﹣1，x，x+1，则（x﹣1）2+x2+（x+1）2＝3x2+2，∴被3除的余数是2．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．23．（10分）某公司计划购买A、B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运15kg材料，且A型机器人搬运500kg的材料所用的时间与B型机器人搬运400kg材料所用的时间相同．（1）求A、B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料？（2）该公司计划采购A、B两种型号的机器人共10台，要求每小时搬运的材料不得少于700kg，则至少购进A型机器人多少台？【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+15）千克材料，根据A型机器人搬运500kg材料所用的时间与B型机器人搬运400kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于700kg列出不等式并解答．【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+15）kg依题意得：解得x＝60经检验，x＝60是原方程的解答：A型每小时搬动75kg，B型每小时搬动60kg．（2）设购进A型a台，B型（10﹣a）台75a+60（10﹣a）≥700a≥6答：至少购进7台A型机器人．【点评】本题考查了分式方程的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：△ABD≌△ACE；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．【分析】（1）根据SAS证△BAD≌△CAE；（2）①由△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）如图，在直角坐标系中，长方形ABCD（每个内角都是90°）的顶点的坐标分别是A（0，m），B（n，0），（m＞n＞0），点E在AD上，AE＝AB，点F在y轴上，OF＝OB，BF的延长线与DA的延长线交于点M，EF与AB交于点N．（1）试求点E的坐标（用含m，n的式子表示）；（2）求证：AM＝AN；（3）若AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，动点P从B出发，以2cm/s的速度沿BC向C运动的同时，动点Q从C出发，以vcm/s的速度沿CD向D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过E作EG⊥AO于G．证明△EGA≌△AOB（AAS）即可解决问题．（2）想办法证明△EAN≌△BAM（ASA）即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）过E作EG⊥AO于G．∵∠EGA＝∠EAB＝∠AOB＝90°，∴∠EAG+∠AEG＝90°，∠EAG+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠AEG，∵AE＝AB，∴△EGA≌△AOB（AAS），∴EG＝OA＝m，AG＝OB＝n∴E（m，m+n）．（2）∵OB＝OF，∠BOF＝90°，∴∠OFB＝∠OBF＝45°，∵△EGA≌△AOB，∴AG＝OB＝OF，∴OA＝FG＝EG，∴∠GFE＝45°，∴∠EFB＝90°，∴∠NAE＝∠NFB＝90°，∵∠ANE＝∠FNB，∴∠AEN＝∠ABM，∵∠EAN＝∠BAM＝90°，EA＝BA，∴△EAN≌△BAM（ASA），∴AN＝AM．（3）如图，∵△ABP与△PCQ全等，∠ABP＝∠PCQ＝90°∴有两种情形：①当AB＝CD，PB＝CP时，t＝＝5（s），∴v＝（cm/s），②当AB＝PC，CQ＝PB时，PB＝20﹣12＝8，∴t＝＝4（s），∴v ＝＝＝2（cm /s ）．【点评】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。