函数专题练习(一) 选择题(12个) 1.函数1()x y ex R +=∈的反函数是( )A .1ln (0)y x x =+>B .1ln (0)y x x =->C .1ln (0)y x x =-->D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是(A )(0,1)(B )1(0,)3(C )11[,)73(D )1[,1)73.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠,1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有(A )1()f x x=(B )()||f x x = (C )()2xf x =(D )2()f x x =4.已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3-∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C . ,y x x R =∈ D7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A .4B .3C . 2D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则)A .()22()xf x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x =>gC .()22()xf x e x R =∈ D .()2ln ln 2(0)f x x x =+>10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩<,则的值为, (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 11、对a ,b ∈R ,记max {a ,b }=⎩⎨⎧≥ba b ba a <,,,函数f (x )=max {|x +1|,|x -2|}(x ∈R )的最小值是(A )0 (B )12 (C ) 32(D )3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=,给出下列四个命题: ①存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根; 其中假.命题的个数是 A .0 B .1 C .2 D .3 (二) 填空题(4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =_______________。
2设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________3.已知函数()1,21xf x a =-+,若()f x 为奇函数,则a =________。
4. 设0,1a a >≠,函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值,则不等式log (1)0a x ->的解集为 。
(三) 解答题(6个) 1. 设函数54)(2--=x x x f .(1)在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像;(2)设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥=Y Y B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明;(3)当2>k 时,求证:在区间]5,1[-上,3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.2、设f(x)=3ax 0.2=++++c b a c bx b若,f (0)>0,f (1)>0,求证:(Ⅰ)a >0且-2<ba<-1; (Ⅱ)方程f (x )=0在(0,1)内有两个实根.3. 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。
(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围;4.设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时,求f (x )的单减区间.5. 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+,2()3ln g x a x b =+,其中0a >.设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点,且在该点处的切线相同. (I )用a 表示b ,并求b 的最大值; (II )求证:()()f x g x ≥(0x >).6. 已知函数2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>,'()f x 是f (x )的导数;设11a =,1()'()n n n n f a a a f a +=-(n =1,2,……) (1)求,αβ的值;(2)证明:对任意的正整数n ,都有n a >a ; (3)记lnn n n a b a aβ-=-(n =1,2,……),求数列{b n }的前n 项和S n 。
(四) 创新试题1. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示,图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 (A )123x x x >> (B )132x x x >> (C )231x x x >> (D )321x x x >>2. 设函数f (x )=3sinx +2cosx +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立,则a cb cos 的值等于( ) A . 21- B . 21C . −1D . 1解答: 一、选择题1解:由1x y e+=得:1ln ,x y +=即x=-1+lny ,所以1ln (0)y x x =-+>为所求,故选D 。
2解:依题意,有0a1且3a -10,解得0a13,又当x 1时,(3a -1)x +4a7a -1,当x1时,log a x 0,所以7a -10解得x 17故选C3解:2112121212x x 111|||||x x x x x x |x x |--==-|12x x 12∈Q ,(,)12x x ∴>1121x x ∴<11211|x x -||x 1-x 2|故选A 4解:已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设644()()()555a f f f ==-=-,311()()()222b f f f ==-=-,51()()22c f f ==<0,∴c a b <<,选D .5解:由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ,故选B .6解:B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A . 7解:0)(=x f 的根是=x 2,故选C8解:A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=,即函数()()()F x f x f x =-为偶函数,B 中()()()F x f x f x =-,()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定,即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定, C 中()()()F x f x f x =--,()()()()F x f x f x F x -=--=-,即函数()()()F x f x f x =--为奇函数,D 中()()()F x f x f x =+-,()()()()F x f x f x F x -=-+=,即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数,故选择答案D 。
9解:函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,所以()f x 是xy e =的反函数,即()f x =ln x ,∴ ()2ln 2ln ln 2(0)f x x x x ==+>,选D .10解:f (f (2))=f (1)=2,选C 11解:当x -1时,|x +1|=-x -1,|x -2|=2-x ,因为(-x -1)-(2-x )=-30,所以2-x-x -1;当-1x12时,|x +1|=x +1,|x -2|=2-x ,因为(x +1)-(2-x )=2x-10,x +12-x ;当12≤x 2时,x +12-x ;当x 2时,|x +1|=x +1,|x -2|=x -2,显然x +1x -2;故2((,1)12([1,))2()11([,2))21([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩据此求得最小值为32。
选C12解:关于x 的方程()011222=+---k x x 可化为()22211011x x k x x --+=≥≤(-)(或-)…(1) 或()222110x x k -+=+(-)(-1x 1) (2)① 当k =-2时,方程(1)的解为3,方程(2)无解,原方程恰有2个不同的实根② 当k =14时,方程(1)有两个不同的实根62,方程(2)有两个不同的实根22,即原方程恰有4个不同的实根③ 当k =0时,方程(1)的解为-1,+1,2,方程(2)的解为x =0,原方程恰有5个不同的实根 ④ 当k =29时,方程(1)的解为153,233,方程(2)的解为33,6,即原方程恰有8个不同的实根 选A二、填空题。