令： a0 F / A
2015年1月24 日 并考虑到： 《振动力学》
2 y 达朗贝尔 Adx 2 t 惯性力
y x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 弦的横向强迫振动方程 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
( l ) 0 l cos 0 a0
u (l , t ) 0 x
频率方程
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x 2015年1月24日 u ( x , t ) ( x ) q (t ) ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日 《振动力学》
( x) (t ) q 2 a0 （常数） q(t ) ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记： 2
(t ) q 2 ( x) a0 q(t ) ( x)
''
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x) ( a ) ( x) 0 0
i 1
2015年1月24日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
q(t )
不能恒为零
u ( x , t ) ( x ) q (t ) 19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x
(0) 0
( l ) 0
边界条件
(l ) 0
( 0 ) 0
l cos 0 a0
i a i , i 1,3,5,... 2 l
频率方程
l cos 0 a0
0 l
x
2 2u 1 2 u a0 p ( x, t ) a0 E / 2 2 S t x 2 2u u 2 a0 自由振动 2 2 t x
假设杆的各点作同步运动： u( x, t ) ( x)q(t ) q(t) ：运动规律的时间函数
( x) ：杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
杆长 l 材料密度 截面积 S 弹性模量 E
x
p( x, t )：单位长度杆上分布的纵向作用力
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形
2015年1月24日 《振动力学》 6
连续系统的振动 / 一维波动方程
dx
微段分析
p( x, t )
0
u
x x
dx
u dx x
u p( x, t )dx
(0) 0
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 x x ( x ) c1 sin c2 cos 2015年1月24日 a0 a0 《振动力学》
sin 0 频率方程 c2 0 a0 i a 0 (i 0,1,2, ) 无穷多个 固有频率： i l i x 模态函数： i ( x ) ci sin (i 0,1, 2, ) l
（3）振动为微振
2015年1月24日 《振动力学》
4
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程
• 动力学方程
• 固有频率和模态函数
• 主振型的正交性
• 杆的纵向强迫振动
2015年1月24日 《振动力学》
5
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
0 l
等截面细直杆的纵向振动
2 t
2

2 a0
2
1 p ( x, t ) 2 Ip x
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
2015年1月24日 《振动力学》 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 固有频率和模态函数
以等直杆的纵向振动为对象
p( x, t )
由频率方程确定的固有频率 i 有无穷多个
2015年1月24日 《振动力学》
（下面讲述）
14
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2 2u 2 u a0 2 t x 2 q(t ) a sin(t )
u( x, t ) ( x)q(t )
( x) c1 sin
(l ) 0
c1 0
( 0 ) 0 l cos 0 a0
u (0, t ) ES 0 x
频率方程
i a , i 1,3,5,... 固有频率： i 2 l i 模态函数： i ( x ) ci sin( x ), i 1,3,5,... 2l x x (日 x ) c1 sin c2 cos 2015年1月 24 a0 a0 《振动力学》
p( x, t )
0
x
dx
微段 dx 受力
x
pdx
T
T T dx x
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
2 2 1 2 a0 2 p ( x, t ) 2 年 t 1月24日 x I p 2015
2 I p dx 2 t
a0
（3）轴的扭转振动 细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
截面的极惯性矩 Ip 杆参数： 材料密度
p( x, t )
0
x
dx
x

切变模量 G
微段 dx 受力
pdx
T
p( x, t ) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
T T dx x
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
( x, t ) ：杆上距离原点 x 处的截面在时
(l ) 0 l
16
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES
u (0, t ) 0 x ( 0 ) 0
0 l
x
ES
c1 0
i a 0 固有频率： i (i 0,1,2, ) l i x 模态函数： i ( x ) ci cos (i 0,1, 2, ) l 频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同
F
弦两端固定，以张力 F 拉紧
在分布力作用下作横向振动
dx
x
微段受力情况
dx
F
振动中认为张力不变
微振 sin

F

：单位长度弦质量
p( x, t ) ：单位长度弦上分布的作用力
建立坐标系 xoy
pdx

dx x
y( x, t ) ：弦上 x 处横截面 t 时刻的横向位移
2 y dx) F p( x, t )dx 达朗贝尔原理： Adx 2 F ( t x
《振动力学》
7
连续系统的振动 / 一维波动方程
p( x, t )
0
x x
dx
l
F ES ES u x
u( x, t ) 杆上距原点 x 处截面 在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： 达朗贝尔原理：
2u F Sdx 2 ( F dx) F p( x, t )dx x t 2u u S 2 ( ES ) p ( x, t ) x x t
i a i , i 1,3,5,... 2 l
固有频率
i i ( x ) ci sin( x ), i 1,3,5,... 模态函数 2l
2015年1月24日 《振动力学》
i i ( x ) ci sin( x ), i 1,3,5,... 2l
2015年1月24日 《振动力学》 2
教学内容
• 一维波动方程
• 梁的弯曲振动
• 集中质量法
• 假设模态法
• 模态综合法（1） • 有限元法
2015年1月24日 《振动力学》
• 模态综合法（2）
3
假 设:
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律 （2）材料均匀连续；各向同性
x x ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日
u ( x , t ) ( x ) q (t )
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连续系统的振动 / 杆的纵向振动
左端自由，右端固定
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零
0Байду номын сангаасl
x
边界条件 ：
u(l , t ) 0
杆的纵向强迫振动方程 等直杆ES 为常数
a24 2015年1月 日 0
《振动力学》
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) 0 2 2 S t x
E/
弹性纵波沿杆的纵向传播速度
8
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦的定义: 很细长
y F
o x
y( x, t ) p( x, t )
F
l
F
F dx x
u( x, t ) ：杆上距原点 x 处截面 t 时刻的纵向位移
微段应变：
(u
u dx) u u x x dx
2u Sdx 2 x
达朗贝尔 惯性力
横截面上内力： F ES ES
u x
2u F 达朗贝尔原理： Sdx 2 ( F dx) F p( x, t )dx x t 2015年1月24日