微分积分公式全集 The pony was revised in January 2021
高中大学数学微分与积分公式（全集）
（高中大学数学）
一、0
101101
lim
0n n n m m x m a n m
b a x a x a n m b x b x b n m
--→∞⎧=⎪⎪++
+⎪
=<⎨+++⎪
∞>⎪⎪
⎩
（系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x
x
→=
（2）()1
0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=
（4）1n = （5）limarctan 2
x x π
→∞
=
（6）lim tan 2
x arc x π
→-∞
=-
（7）limarccot 0x x →∞
= （8）lim arccot x x π→-∞
= （9）lim 0x x e →-∞
=
（10）lim x x e →+∞
=∞ （11）0
lim 1x
x x +
→= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →）
四、导数的四则运算法则
五、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅
⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1
ln x x
'=
⑿()1
log ln x a x a '=
⒀(
)arcsin x '= ⒁(
)arccos x '=
⒂()21arctan 1x x '=
+ ⒃()
2
1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=
⒅
'
=
六、高阶导数的运算法则 （1）()()()
()
()
()
()
n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦
（2）()()
()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦
（3）()()()
()n n n
u ax b a u
ax b +=+⎡⎤⎣⎦
（4）()()()
()
()()()0
n
n n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()
()
!n n x n = （2）()
()
n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()
()
ln n x x n a a a =
(4)()()
sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛
⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
(5) ()()
cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛
⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
(6)()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +⋅⎛⎫
=- ⎪
+⎝⎭
+ (7) ()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦
+
八、微分公式与微分运算法则
⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-
⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x
=
⑿()1
log
ln x a d dx x a =
⒀()arcsin d x =
⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =
+ ⒃()2
1
arccot 1d x dx x =-+ 九、微分运算法则
⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =
⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2
u vdu udv
d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭
十、基本积分公式
⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμ
μ+=++⎰ ⑶ln dx
x c x
=+⎰ ⑷ln x
x
a a dx c a
=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻2
21sec tan cos dx xdx x c x
==+⎰⎰ ⑼2
21csc cot sin xdx x c x ==-+⎰
⎰ ⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾
arcsin x c =+
十一、下列常用凑微分公式
十二、补充下面几个积分公式
十三、分部积分法公式
⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，ax dv e dx = 形如sin n x xdx ⎰令n u x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx ⎰令n u x =，cos dv xdx =
⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，n dv x dx = 形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，n dv x dx =
⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。

十四、第二换元积分法中的三角换元公式
sin x a t =tan x a t =sec x a t = 【特殊角的三角函数值】
（1）sin 00= （2）1sin
6
2π
=
（3）sin 3π= （4）sin 12
π
=） （5）sin 0π=
（1）cos01= （2）cos
6
π
=
（3）1cos 32π= （4）cos 02
π
=） （5）cos 1π=-
（1）tan 00= （2）tan
6
π
=
（3）tan 3π=（4）tan 2
π
不存在 （5）tan 0π=
（1）cot 0不存在 （2）cot
6
π
=（3）cot
3
3π
=
（4）cot 02
π
=（5）cot π不存在
十五、三角函数公式
1.两角和公式
2.二倍角公式
3.半角公式
4.和差化积公式
5.积化和差公式
6.万能公式
7.平方关系
8.倒数关系
9.商数关系
十六、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程：
()()dy
f x
g y dx
= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：
dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
3.一阶线性非齐次微分方程：
()()dy
p x y Q x dx
+= 解为：。