高等数学微分和积分数学公式（集锦）（精心总结）一、101101lim0n nnm mxman mba x a x an mb x b x bn m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩（系数不为0的情况）二、重要公式（1）sinlim1xxx→=（2）()1lim1xxx e→+=（3）)1na o>=（4）1n=（5）limarctan2xxπ→∞=（6）lim tan2xarc xπ→-∞=-（7）limarccot0xx→∞=（8）lim arccotxxπ→-∞=（9）lim0xxe→-∞=（10）lim xxe→+∞=∞（11）lim1xxx+→=三、下列常用等价无穷小关系（0x→）sin x x tan x x arcsin x x arctan x x211cos2x x-()ln1x x+1xe x-1lnxa x a-()11x x∂+-∂四、导数的四则运算法则()u v u v'''±=±()uv u v uv'''=+2u u v uvv v'''-⎛⎫=⎪⎝⎭五、基本导数公式⑴()0c'=⑵1x xμμμ-=⑶()sin cosx x'=⑷()cos sinx x'=-⑸()2tan secx x'=⑹()2cot cscx x'=-⑺()sec sec tanx x x'=⋅⑻()csc csc cotx x x'=-⋅⑼()x xe e'=⑽()lnx xa a a'=⑾()1ln xx'=⑿()1log ln xax a '=⒀()arcsin x '=⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=六、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx =⑽()ln xxd a aadx =⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a=⒀()arcsin d x dx =⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+⒃()21arccot 1d x dx x =-+九、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=±⑵()d cu cdu =⑶()d uv vdu udv =+⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭十、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑵11x x dx c μμμ+=++⎰⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰⑸x x e dx e c =+⎰⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+十一、下列常用凑微分公式十二、补充下面几个积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰cot ln sin xdx x c =+⎰sec ln sec tan xdx x x c =++⎰csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+⎰arcsinx c a=+ln x c =++十三、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

十四、第二换元积分法中的三角换元公式sin x a t = tan x a t = sec x a t = 【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin62π=（3）sin 32π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π=（1）cos01= （2）cos6π=（3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=-（1）tan 00= （2）tan6π=（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=（1）cot 0不存在 （2）cot 6π= （3）cot3π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在十五、三角函数公式1.两角和公式sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-tan tan tan()1tan tan A BA B A B --=+ cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅-+=+cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅+-=-2.二倍角公式sin 22sin cos A A A =2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 22tan tan 21tan AA A=-3.半角公式sin2A =cos 2A =sin tan21cos A A A ==+sin cot 21cos A A A==-4.和差化积公式sin sin 2sincos 22a b a b a b +-+=⋅sin sin 2cos sin22a b a ba b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅cos cos 2sin sin22a b a ba b +--=-⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b++=⋅5.积化和差公式()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦()()1cos sin sin sin 2a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦6.万能公式22tan2sin 1tan 2aa a=+221tan 2cos 1tan 2a a a-=+22tan2tan 1tan 2aa a =-7.平方关系22sin cos 1x x +=22sec n 1x ta x -=22csc cot 1x x -=8.倒数关系tan cot 1x x ⋅=sec cos 1x x ⋅=c sin 1cs x x ⋅=9.商数关系sin tan cos x x x =cos cot sin xx x=十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：()()dyf xg y dx= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.一阶线性非齐次微分方程：()()dyp x y Q x dx+= 解为： ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰。