宜昌金东方高级中学2017年秋季学期期末考试高二数学试题（理）本试题卷共4页，六大题22小题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1.设复数1z ai =+（a 是正实数），且10z =，则12zi-等于( ) A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ． 1i -- 2．若直线：+与直线：互相垂直，则的值为（ ） A ．B ．C ． 或D ． 1或3.设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l α⊂，m β⊂，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m β⊂，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ） A.p 或qB.p 且q ⌝C. p 且qD. p ⌝或q4. 已知2121,cos M x dx N xdx π=-=⎰⎰，由如右程序框图输出的=S ( )A ．4πB ．2πC ．1D ．1-5．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为：“若12=x ，则1≠x ”；B ．命题“02,2<++∈∃x x R x ”的否定是“R x ∈∀，022≥++x x ”；C. 命题“若y x =，则22y x =”的逆否命题是假命题；D. 已知N n m ∈,，命题“若n m +是奇数，则n m ,这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题.6. 已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则OA OP ⋅的范围是 （ ）A.[]10,4B. []9,6C. []10,6D. []10,97.已知直线l 与双曲线221x y -=交于B A 、两点，若线段AB 的中点为()2,1C ，则直线l 的斜率为（ ） A ．2- B ．1 C ． 2 D ．3 8.图1是某地区参加2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高在[150，155内的人数]。

图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。

现要统计身高在160~180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A.i<6B.i<7C.i<8D. i<9 9．不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A ．B.C ．D ．10. 已知a R ∈，直线1:22l x y a +=+和直线2:221l x y a -=-分别与圆:E()()2214x a y -+-=相交于A C 、和B D 、，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．4C ． 6D ．8 11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为8,点H 在棱1AA 上，且21=HA ，在侧面11BCC B 内作边长为2的正方形1EFGC ,P 是侧面11BCC B 内一动点且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是( )A ．87B ．88C ．89D ．90 12. 若[]1113sin 2(0,)2y x x π=-∈，2256y x π=+)(2R x ∈，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ）A ．22π B ．432π C ．36252π D ．652π第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ．14. 过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p = ．15．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)16. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为2F ，)0,0)(,(0000>>y x y x M 是双曲线C 上的点，),(00y x N --，连接2MF 并延长2MF 交双曲线C 与点P ，连接PN NF ,2，若P NF 2∆是以P NF 2∠为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C 的渐近线方程为 ． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(本小题10分)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）从样本中身高在180~190cm 之间的男生．．中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率。

18．(本小题12分)已知抛物线C ：24y x =．点P 是其准线与x 轴的交点，过点P 的直线L 与抛物线C 交于A,B 两点。

(1)当线段AB 的中点在直线x=7上，求直线L 的方程；(2)设F 为抛物线C 的焦点，当A 为线段PB 的中点时，求FAB ∆ 的面积。

19. (本小题12分) 在边长为3的正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2(如图（1）)．将AEF ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P(如图（2）)．（1）求证：A 1E ⊥平面BEP ； （2）求二面角B —A 1P —E 的余弦值。

20. (本小题12分)已知命题P:函数2lg(21)y ax x =++的定义域为R ；命题Q:不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立。

若Q P ∨是真命题，P Q ∧是假命题；求实数a的取值范围。

21．(本小题12分) 已知圆22:(1)1M x y ++=圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。

图（1）图（2）（1）求C的方程;（2）若过点（1,0）的直线与曲线C 交于,R S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时总有OTS OTR ∠=∠? 若存在，请说明理由。

22. (本小题12分) 已知函数()(xf x e e =为自然对数的底数), ()(,)2ag x x b a b R =+∈。

（1）若()()(),12ah x f x g x b ==-且4a =-，求()h x 在[]0,1上的最大值； （2）若4a =时，方程()()f x g x =在[]0,2上恰有两个相异实根，求实数b 的取值范围； （3）若15,*2b a N =-∈，求使()f x 的图像恒在()g x 图像上方的最大正整数a 。

(2.71 2.72)e <<DCCDAB CCABAC13. 2k ≤ 14. 2 15932 16. 62y x =± 17.(1)400人 （2）3518.19.解:(1)在图（5）中，取BE 的中点D ，连结DF ，∵AE ∶EB ＝CF ∶FA ＝1∶2，∴AF ＝AD ＝2，而∠A ＝60°，∴△ADF 为正三角形． 又AE ＝DE ＝1，∴EF ⊥AD.在图（6）中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ， ∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥平面BEP ； ………6分 (2)面EA 1P 的法向量→1n =（3,—1,0）；面BA 1P 的法向量→2n =（3，1,23）所以cos ＜→1n ，→2n ＞=……=41，所以二面角B —A 1P —E 的大小的余弦值为41………12分20. 当P 为真时：1a >， 当Q 为真时：22a -<≤，(]()2,12,-+∞21.解：（1）得圆M 的圆心为()1,0,M -半径11;r =圆N 的圆心()1,0,N 半径2 3.r =设圆P 的圆心为(),,P x y 半径为.R 因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以1212 4.PM PN R r r R r r +=++-=+= ………3分由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为3的椭圆（左顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-. ………5分（2）假设存在(),0T t 满足OTS OTR ∠=∠.设()()1122,,,R x y S x y联立()22134120y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩ 得()22223+484120k x k x k -+-=，由韦达定理有2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①，其中0∆>恒成立， ………7分由OTS OTR ∠=∠(显然,TS TR 的斜率存在)，故0TS TR k k +=即12120y yx t x t+=--②，由,R S 两点在直线()1y k x =-上，故 ()()11221,1y k x y k x =-=-代入②得()()()()()()()()()()12121221121221211=0k x x t x x t k x x t k x x t x t x t x t x t -+++⎡⎤--+--⎣⎦=----即有 ()()1212212=0x x t x x t -+++③ ………9分 将①代入③即有：()()222228241823462403+434k t k t k t k k--+++-==+④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =“时成立，综上所述存在()4,0T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠. ………12分22. 解：（1）12a b =-时， ()e (1)()22x a a h x x a =+-∈R ，∴()e (21)xh x x '=-+， 12max1()()22h x h e ==（2）()()()e 2,x F x f x g x x b =-=--()e 2,xF x '=-∴()F x 在(0,ln 2)上单调递减；在(ln 2,)+∞上单调递增；…………………5分 ∴()e 2xF x x b =--在[0,2]上恰有两个相异实根，2(0)10(ln 2)22ln 2022ln 21(2)e 40F b F b b F b ⎧=-≥⎪⇔=--<⇔-<≤⎨⎪=--≥⎩， ∴实数m 的取值范围是(22ln 2,1]m ∈-； …………………7分 （3）由题设：15,()()()e 022xa x p x f x g x x ∀∈=-=-+>R ， （*）∵()e 2xa p x '=-,故()p x 在(,ln )2a -∞—上单调递减；在(ln ,)2a+∞上单调递增， ∴（*）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222a a a a ap x p a a ⇔==-+=-+>， 设()ln 15(ln ln 2)152x q x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x xq x '=--=-，∴()q x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减， ……………10分 而22222(2e )2e 2e ln e 15152e 0q =-+=->，且215515(15)1515ln1515(2ln )15(ln e ln )0222q =-+=-=-<， 故存在20(2e ,15)x ∈使0()0q x =，且0[2,)x x ∈时()0,h x >0(,)x x ∈+∞时()0,h x < 又∵1(1)16ln0,2q =->2157e 2<<，∴*a ∈N 时使()f x 的图象恒在()g x 图象的上方的最大正整数14a =．…………12分。