2018届安徽省巢湖市柘皋中学高三第六次月考数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，若是复数的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：.本题选择A选项.2. 已知集合，则的真子集个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为抛物线的图象与直线的图象，有两个交点，所以有两个元素，故的真子集个数为，故选B.3. 已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得故选4. 下列说法中，错误的是（）A. 若平面平面，平面平面，平面平面，则B. 若平面平面，平面平面，则C. 若直线，平面平面，则D. 若直线平面，平面平面平面，则【答案】C【解析】选项C中，若直线，平面平面，则有可能直线在平面内，该说法存在问题，由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得，可得，所以抛物线的方程为，故选D.6. 已知函数若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由分段函数的解析式可得：，即：，结合函数有最小值可得：，据此可得：，即实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．7. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：，则：，结合诱导公式有：，，据此可得：.本题选择C选项.8. 运行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：，注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：当时,，结合题意可知：判断框中可以填.本题选择B选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．9. 现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了场，各踢了场，踢了场，且队与队未踢过，队与队也未踢过，则在第一周的比赛中，队踢的比赛的场数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依据题意：踢了场，队与队未踢过，则C队参加的比赛为：；D踢了场，队与队也未踢过，则D队参加的比赛为：；以上八场比赛中，包含了队参加的两场比赛，分析至此，三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，则在中进行的比赛中，，各踢了2场，即余下的比赛为：，综上可得，第一周的比赛共11场：，，则队踢的比赛的场数是.本题选择D选项.10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、三象限交双曲线于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由通径公式可得：，则：，直线的方程为：，令可得：，则：，可得直线方程为，令可得：，据此有：，整理可得：，则双曲线的渐近线方程为.本题选择A选项.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，三视图还原之后的几何体是两个全等的三棱柱和组成的组合体，其中棱柱的底面为直角边长为等腰直角三角形，高为，每个棱柱的表面积为：，两三棱柱相交部分的面积为：，据此可得，该几何体的表面积为：.本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．12. 已知函数，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意有：，当时，单调递减，当时，单调递增，且，据此可得：函数在区间上的最大值为，原问题等价于：在区间上恒成立，即：，分离参数有：恒成立，构造函数，则：，由对数函数的性质可得：单调递减，且，则恒成立，单调递减，注意到，则：当时，单调递增，当时，单调递减，则的最大值为：，由恒成立的条件可得：实数的取值范围为.本题选择B选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量满足，若，则__________．【答案】或【解析】向量满足，且，，则，解得或，故答案为或.14. 已知实数满足则的取值范围为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：目标函数表示点与可行域内的点连线的斜率，很明显，在坐标原点处，目标函数取得最小值：，联立方程：可得：在点处取得最大值：，综上可得：的取值范围为.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．15. 已知，则的展开式中，常数项为__________．【答案】【解析】函数是奇函数，则，则，据此可得：，其展开式的通项公式为：，展开式中的常数项满足，即：.16. 已知函数.若在区间上存在零点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】当，即时，满足题意；且易验证，当时，满足题意；考虑当时的情形：，结合有：，原问题等价于或当时能成立.考虑到：可得：或，求解不等式组有：或，结合有或；综上可得：的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别是，且.（1）求的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：⑴利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理列出关系式，将得出的等式变形后代入求出的值，利用特殊角的三角函数值即可求出的大小；⑵由题意及余弦定理可得出，的值，然后由三角形面积公式即可求解；解析：（1）由，可得，∴，∴，又∵，∴；（2）若，则，由题意，，由余弦定理得，∴，∴，∴．18. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)结合递推关系可得是以为首项，公比为的等比数列，据此可得通项公式为. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论有，分钟求和可得.试题解析：（Ⅰ）因为，故，得；设，所以，，，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故.19. 如图所示，直三棱柱，中，点分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)连接，,由中位线的性质可得：，利用线面平行的判断定理即可证得平面. (Ⅱ)结合直三棱柱的性质，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，据此可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则，求解方程可得，利用线面角的向量求法可得.试题解析：（Ⅰ）连接，,则且为的中点，又为的中点，，又平面，平面，故平面.（Ⅱ）因为是直三棱柱，所以平面，得.因为，，，故.以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，.取平面的一个法向量为，由得：令，得，同理可得平面的一个法向量为，二面角的大小为，，解得，得，又，设直线与平面所成角为，则.点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．20. 随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员随即发放张超市的购物券，购物券金额以及发放的概率如下：元元现有甲、乙两人领取了购物券，记两人领取的购物券的总金额为，求的分布列和数学期望.参与公式：临界值表：【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：⑴依题意，计算的观测值，即可得到结论；⑵依题意，的可能取值为且，，，据此得出分布列，计算数学期望解析：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；（2）依题意，的可能取值为40，70，100，且，故的分布列为：40故所求数学期望．21. 已知椭圆过点，且离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.（其中分别是直线的斜率）【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组有，，故椭圆的标准方程为. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知.易知当直线的斜率不存在时，不合题意.当直线的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程可得，则综上所述，为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，解得，，故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）依题意，.易知当直线的斜率不存在时，不合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入中，得，设，，由,得，，，故综上所述，为定值.点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数.（1）探究函数的单调性；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)对函数求导有，分类讨论：若，在上单调递增；若，在上单调递减，在上单调递增.(Ⅱ)原问题即在上恒成立.构造函数：令，则，考查分子部分，令，则是上的增函数.据此分类讨论：①当时，成立.②当时，不可能恒成立.综合上述，实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）依题意，，函数，若，，函数在上单调递增；若，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）依题意，，即在上恒成立.令，则，令，则是上的增函数，即.①当时，，所以，因此是上的增函数，则，因此时，成立.②当时，令，得，求得，（由于，所以舍去）当时，，则在上递减，当时，，则在上递增，所以当时，，因此时，不可能恒成立.综合上述，实数的取值范围是.。