2019-2020学年江苏省盐城市亭湖区景山中学九年级（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1．（3分）若x＝2y，则的值为（）A．2B．1C．D．2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣13．（3分）两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比是（）A．9：16B．3：4C．9：4D．3：164．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．30πcm2B．15πcm2C．cm2D．10πcm25．（3分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：组别1234567分值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是（）A．88，90B．90，90C．88，95D．90，956．（3分）在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是（）A．45°B．75°C．105°D．120°7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B 和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBCQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤4）之间的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上）9．（3分）cos30°＝．10．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是．11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则其外接圆的半径为．12．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．13．（3分）某一时刻身高160cm的小王在太阳光下的影长为80cm，此时他身旁的旗杆影长10m，则旗杆高为．14．（3分）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为cm．（保留2位小数）15．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线．16．（3分）从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h＝12t ﹣6t2，则小球运动到的最大高度为米．17．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣1，x2＝2，则二次函数y＝x2+mx+n 中，当y＜0时，x的取值范围是．18．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，过点A的直线交半圆于点C，且sin∠CAB＝，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在射线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为．三．解答题19．（8分）解方程或计算（1）解方程：3y（y﹣1）＝2（y﹣1）（2）计算：sin60°cos45°+tan30°．20．（9分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．21．（10分）小明、小林是景山中学九年级的同班同学，在六月份举行的招生考试中，他俩都被亭湖高级中学录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望编班时分在不同班．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人不在同班的概率．22．（10分）如图，四边形OABC为平行四边形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB＝．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若BC＝10cm，求⊙O的半径长及图中阴影部分的面积．23．（10分）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB的高度．24．（10分）为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC 与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321）25．（12分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？26．（13分）我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B（或∠BCD＝∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4．试判断点D是不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB＝5，AC＝4．若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A（0，2），B（0，﹣3），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0）．过点A作直线y＝x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y＝x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）．（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E的坐标；（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．2019-2020学年江苏省盐城市亭湖区景山中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1．【解答】解：∵x＝2y，∴＝＝2；故选：A．2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，∴△＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k＜﹣1，∴k的取值范围是k＜﹣1．故选：C．3．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为9：16，∴它们对应的相似比是3：4．故选：B．4．【解答】解：设底面半径为rcm，3π×5＝15π（cm2），故选：B．5．【解答】解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：85，88，90，90，90，92，95，故中位数为：90，众数为：90．故选：B．6．【解答】解：由题意得，sin A﹣＝0，﹣cos B＝0，即sin A＝，＝cos B，解得，∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故选：C．7．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝＝5．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．∴∠ACD＝∠B，∴cosα＝cos B＝＝．故选：A．8．【解答】解：根据题意，得AP＝AQ＝x，AB＝AC＝4，y＝S△ABC﹣S△APQ＝4×4﹣x2＝﹣x2+8，∴此函数图象是开口向下的抛物线，与y轴交点坐标为（0，8）∵0≤x≤4，所以符合题意的图象为C．故选：C．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上）9．【解答】解：cos30°＝．故答案为：．10．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3∴该抛物线的顶点坐标为：（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．11．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴BA＝10，∴其外接圆的半径为5．12．【解答】解：∵a＝1＞0，∴二次函数的图象开口向上，由二次函数y＝（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x＝1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞．13．【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：80＝x：10，解得x＝20．故答案是：20m．14．【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为20cm，∴它的宽＝20•＝10（﹣1）≈12.36（cm）．故答案为12.36．15．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∵向左平移3个单位，向下平移两个单位∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣1），∴所得到的抛物线解析式是y＝﹣2（x+3）2﹣1．故答案为：y＝﹣2（x+3）2﹣1．16．【解答】解：h＝12t﹣6t2＝﹣6（t2﹣2t）＝﹣6（t﹣1）2+6，则小球运动到的最大高度为6m．故答案为：6．17．【解答】解：∵x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣1，x2＝2，∴二次函数y＝x2+mx+n与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．18．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，sin∠CAB＝，即＝，解得，BC＝8，由勾股定理得，AC＝＝＝6，当点E在AC上，△CED∽△CAB时，＝＝，∴CE＝3，∴AE＝6﹣3＝3，当点E在AC上，△CDE∽△CAB时，＝，即＝，解得，CE＝，∴AE＝6﹣＝，当点E在AC的延长线上，△CED∽△CAB时，＝＝，∴CE＝3，∴AE＝6+3＝9，当点E在AC上，△CDE∽△CAB时，＝，即＝，解得，CE＝，∴AE＝6+＝，综上所述，△CDE与△ACB相似时，线段AE的长为3或9或或，故答案为：3或9或或．三．解答题19．【解答】解：（1）∵3y（y﹣1）﹣2（y﹣1）＝0，∴（y﹣1）（3y﹣2）＝0，则y﹣1＝0或3x﹣y＝0，解得y＝1或y＝；（2）原式＝××+＝+＝．20．【解答】解：由勾股定理得，c＝＝＝＝12，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，即：c＝12，∠A＝30°，∠B＝60°；21．【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以等可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC，共9种；（2）由（1）可知两人不在同班的情况数有6种，则两人不在同班的概率是＝．22．【解答】（1）证明：连接OB，∵sin∠OCB＝，∴∠OCB＝45°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，∴∠BOC＝∠ABO＝90°，∵B在⊙O上，∴AB与⊙O相切；解：（2）设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，在Rt△OBC中，r2+r2＝102，∴r＝5，∴S阴影部分＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×＝π﹣25，答：⊙O的半径长5，阴影部分的面积为．23．【解答】解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴＝，＝，又∵CD＝EF，∴＝，∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，∴＝，∴BD＝9，BF＝9+3＝12，∴＝，解得AB＝6．答：路灯杆AB的高度是6m．24．【解答】解：（1）∵在RT△ACD中，AC＝45cm，DC＝60cm，∴AD＝＝75，∴车架档AD的长为75cm，（2）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，∵AE＝AC+CE＝45+20（cm）∴EF＝AE sin75°＝（45+20）sin75°≈62.7835≈63cm，∴车座点E到车架档AB的距离是63cm．25．【解答】解：（1）根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4×），即y＝﹣x2+24x+3200；（2）由题意，得﹣x2+24x+3200＝4800．整理，得x2﹣300x+20000＝0．解这个方程，得x1＝100，x2＝200．要使百姓得到实惠，取x＝200元．∴每台冰箱应降价200元；（3）对于y＝﹣x2+24x+3200＝﹣（x﹣150）2+5000，当x＝150时，y最大值＝5000（元）．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．26．【解答】解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．理由：如图①中，∵D是AB中点，AB＝4，∴AD＝DB＝2，∵AC2＝（2）2＝8，AD•AB＝8，∴AC2＝AD•AB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∴点D是△ABC的“理想点”，（2）如图②中，∵点D是△ABC的“理想点”，∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，当∠ACD＝∠B时，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠CDB＝90°，当∠BCD＝∠A时，同法证明：CD⊥AB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∵AB•CD＝AC•BC，∴CD＝．（3）如图③中，存在．有三种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．∵∠MAC＝∠AOC＝∠AHM＝90°，∠ACM＝45°，∴∠AMC＝∠ACM＝45°，∴AM＝AC，∵∠MAH+∠CAO＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠MAH＝∠ACO，∴△AHM≌△COA（AAS），∴MH＝OA，OC＝AH，设C（a，0），∵A（0，2），B（0，﹣3），∴OA＝MH＝2，OB＝3．AB＝5，OC＝AH＝a，BH＝a﹣5，∵MH∥OC，∴＝，∴＝，解得a＝6或﹣1（舍弃），经检验a＝6是分式方程的解，∴C（6，0），OC＝6，①当∠D1CA＝∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”．设D1（0，m），∵∠D1CA＝∠ABC，∠CD1A＝∠CD1B，∴△D1AC∽△D1CB，∴CD12＝D1A•D1B，∴m2+62＝（m﹣2）（m+3），解得m＝42，∴D1（0，42）．②当∠BCA＝∠CD2B时，点A是△BCD2的“理想点”．易知：∠CD2O＝45°，∴OD2＝OC＝6，∴D2（0，6）．综上所述，满足条件的点D坐标为（0，42）或（0，6）．27．【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝﹣x2+bx+3得：0＝﹣1﹣b+3，解得：b＝2，将点A的坐标代入y＝x+c并解得：c＝1，故抛物线和直线的表达式分别为：y＝﹣x2+2x+3，y＝x+1；联立上述两式得：，解得：，故点D（2，3）；（2）如图1，设直线CE交x轴于点H，设点E（m，﹣m2+2m+3），而点C（0，3），将点E、C坐标代入一次函数表达式y＝sx+t得：，解得：，故直线CE的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，令y＝0，则x＝，故点H（，0），△CBE的面积＝BH×（x C﹣y E）＝×（3﹣）（3+m2﹣2m﹣3）＝6，解得：m＝2，故点E（2，3）；（3）点C、E的纵坐标相同，故CD∥x轴，t秒时，AP＝t，则点P在x轴和y轴方向移动的距离均为t，故点P（t﹣1，t），当x＝t﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣t2+4t，故点Q（t﹣1，﹣t2+4t），则PQ＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，此时，t＝，则点P（，），故直线PQ表达式为：x＝；设点M（，m），点N（n，0），而点D（2，3）；①当∠DMN为直角时，（Ⅰ）当点M在x轴上方时，如图2，设直线PQ交x轴于点H，交CD于点G，∵∠DMG+∠GDM＝90°，∠DMG+∠HMN＝90°，∴∠HMN＝∠GDM，MN＝MD，∠DGM＝∠MHN＝90°，∴△DGM≌△MHN（AAS），∴GD＝MH，NH＝GM，即：，解得：，故点N（2，0）；（Ⅱ）当点M在x轴下方时，如图3，过点M作x轴的平行线交过点与y轴的平行线于点H，交过点N与y轴的平行线于点E，同理可得：△MEN≌△DHM（AAS），故：NE＝MH，EM＝DH，即，解得：，故点N（﹣4，0）；②当∠DNM为直角时，（Ⅰ）当点N在x轴左侧时，如图4，过点N作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点M与x轴的平行线于点R，同理可得：△DHN≌△NRM（AAS），∴RM＝NH，即3＝﹣n，解得：n＝﹣2.5；（Ⅱ）当点N在x轴右侧时，如图5，过点N作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点H，交过点D与x轴的平行线于点G，同理可得：△MHN≌△NGD（AAS），∴MH＝GN，即n﹣＝3，解得：n＝3.5，综上，N的坐标为：（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2.5，0）或（3.5，0）．。