江苏省亭湖高级中学2019-2020学年高三最后一模数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.记函数()223f x x ax =+-在区间(],3-∞-上单调递减时实数a 的取值集合为A ;不等式()122x a x x +≥>-恒成立时实数a 的取值集合为B ,则“x B ∈”是“x A ∈”的 A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.奇函数f x ()的定义域为R ,若1f x +()为偶函数,且(1)1f ﹣=﹣,则20182019f f +()()=( )A .﹣2B .﹣1C .0D .13.已知O 为ABC ∆内一点,且1()2AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r ,AD t AC =u u u r u u u r,若B ,O ,D 三点共线,则t 的值为( )A .14B .13C .12D .234.设()f x '为函数()f x 的导函数,且满足()32133f x x ax bx =-++,()()6f x f x ''=-+,若()6ln 3f x x x ≥+恒成立,则实数b 的取值范围是( )A .[)66ln6,++∞ B .[)4ln 2,++∞ C .[)5ln5,++∞ D .)643,⎡++∞⎣5. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且B =2C,2bcosC -2ccosB =a ,则角A 的大小为( ) A .2πB .3π C . 4π D . 6π6.如图,已知线段AB 上有一动点D (D 异于A B 、),线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅(λ是大于0且不等于1的常数),则点C 的运动轨迹为( )A .圆的一部分B .椭圆的一部分C .双曲线的一部分D .抛物线的一部分7.若函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >,||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π,0),其相邻一条对称轴方程为712x π=,该对称轴处所对应的函数值为1-,为了得到()cos2g x x =的图象,则只要将()f x 的图象( )A .向右平移6π个单位长度B .向左平移12π个单位长度 C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度8.平行四边形ABCD 中,120,2,3,BAD AB AD ∠===ou u u r u u u r 11,32BE BC CF CD ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,则AE AF ⋅=u u u v u u u v( )A .3B .32C .3-D .32-9.函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象,并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,则实数ω的值为( ) A .74 B .32 C .2 D .5410.已知函数2(sin 2cos ()+∈f x x x x x R ,则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最小值为( ) A .3- B .2- C .1- D .011.已知点p 是直线0x y m -+=上的动点,由点p 向圆22:1O x y +=引切线,切点分别为M ,N 且90MPN ∠=︒,若满足以上条件的点p 有且只有一个,则m =( )A .2B .2± CD.12.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为10,则点P 的坐标为( ) A .(8,8)B .(8,8)-C .(8,8)±D .(8,8)-±二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象,则以函数()f x 与()g x 的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________________.14.已知双曲线22:41C x y -=,过点()2,0P 的直线l 与C 有唯一公共点,则直线l 的方程为__________.15.圆C :()2211x y -+=的圆心到直线l :()00x y a a -+=>,则a 的值为______.16.直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线,则实数a =____. 三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x 4cos θy 3sin θ=⎧⎨=⎩(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4).求曲线C 1,C 2的直角坐标方程.若M 是曲线C 1上的一点,N 是曲线C 2上的一点,求|MN|的最小值.18.(12分)某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查,张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y (单位:万只)与相应年份x (序号)的数据表和散点图(如图所示),根据散点图,发现y 与x 有较强的线性相关关系,李四提供了该县山羊养殖场的个数z (单位:个)关于x 的回归方程230z x ∧=-+.年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9年养殖山羊y /万只1.21.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.7根据表中的数据和所给统计量,求y 关于x 的线性回归方程(参考统计量:()92160ii x x =-=∑,()()9112i i i x x y y =--=∑);试估计:①该县第一年养殖山羊多少万只?②到第几年,该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了? 附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v L ,其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑,ˆˆv u αβ=-.19.(12分)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X .20.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且23n n S p m =⋅+,(其中p m 、为常数),又123a a ==.求数列{}n a 的通项公式;设3log n n b a =,求数列{}n n a b ×的前n 项和n T .21.(12分)如图,在直角梯形ABCD 中,//,90AD BC ADC ∠=o,平面ABCD 外一点P 在平ABCD内的射影Q 恰在边AD 的中点Q 上,223PA AD BC CD ====.求证:平面PQB ⊥平面PAD ;若M 在线段PC 上,且//PA 平面BMQ ,求点M 到平面PAB 的距离.22.(10分)已知ABC ∆的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ,且满足()()sin 222cos sin A B A B A+=++.求ba值; 若1,7a c ==,求ABC ∆的面积.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B 2、B 3、B 4、A 5、A 6、B 7、B 8、B 9、C 10、D 11、B 12、C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、3π14、112y x =-或112y x =-+15、1 16、1三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1)C 1:22x y 1169+=,C 2:x+y-6=0;(2【解析】 【分析】(1)利用平方和为1消去参数θ得到曲线C 1的直角坐标方程,利用y=ρsinθ,x=ρcosθ将极坐标方程转为直角坐标方程.(2)设点M (4cosθ,3sinθ),利用点到直线的距离公式和正弦函数的性质可求得最值. 【详解】(1)由题意得,cosθ=x 4①,ysin θ3=② ①②式平方相加得:22x y 1169+=.所以曲线C 1的直角坐标方程22x y 1169+=;曲线线C 2的极坐标方程为πρsin θ4⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 即ρsinθ+ρcosθ-6=0,所以曲线C 2的直角坐标方程为x+y-6=0. (2)设点M (4cosθ,3sinθ),C 2:x+y-6=0.由点到直线的距离公式得d =,当sin (θ+α)=1时,min 2d =. 所以|MN|的最小值是2. 【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,正弦函数性质的应用,考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题. 18、(1)$0.21y x =+;(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题设中的数据,求得5x =,2y =,利用公式ˆ0.2b=,进而得到ˆ1a =,即可得到回归直线的方程;(2)求得第x 年山羊养殖的只数2ˆˆ0.4430yz x x ⋅=-++,①代入1x =,即可得到第一年的山羊的养殖只数;②根据题意,得20.443033.6x x -++<,求得9x >,即可得到结论 【详解】(1)设y 关于x 的线性回归方程为ˆˆˆybx a =+, 则12345678959x ++++++++==,1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.729y ++++++++==,则91921()()12ˆ0.260()iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑,所以ˆˆ20.251a y bx=-=-⨯=, 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.21yx =+。
(2)估计第x 年山羊养殖的只数2ˆˆ(0.21)(230)0.4430yz x x x x ⋅=+-+=-++, ①第1年山羊养殖的只数为0.443033.6-++=,故该县第一年养殖山羊约33.6万只; ②由题意,得20.443033.6x x -++<,整理得(9)(1)0x x -->, 解得9x >或1x <(舍去)所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了。