内容提要：一、行列式的定义1、2阶和3阶行列式2112221122211211a a a a a a a a D -==312312322113332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a ---2、排列与逆序定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义定义 称∑-==nn n p p p np p p p p p nnn n nn a a a a a a a a a a a a D21212121)(212222111211)1(τ )det(ij a =为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ．4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。

二、行列式的性质 性质1 D D ='．性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零．性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式．推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．性质4 nnn n in i i nnnn n in i i n nnn n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a21211121121211121121221111211βββαααβαβαβα+=+++性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变．三、行列式的展开定理定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ．ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解D D x 11=，D Dx 22=，……，DD x n n =．推论 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (01=x ,02=x ,……，0=n x 显然是方程组的解，称为零解)1）0≠D ⇒仅有零解． 2）有非零解⇒0=D ．《线性代数》单元自测题答案第一章 行列式一、填空题：1．设j i a a a a a 54435231是五阶行列式中带有负号的项，则i =________；j =_________。

分析 2,1==j i 或者1,2==j i 。

当2,1==j i 时，5244352311524435231145244352311)13542()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a =-=-τ 。

当1,2==j i 时，5144352312514435231255144352312)23541()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。

2． 在四阶行列式中，带正号且包含因子23a 和31a 的项为_____ __。

分析 同时包含23a 和31a 的项有4431231244312312244312312)2314()1()1(a a a a a a a a a a a a =-=-τ。

和 4231231442312314542312314)4312()1()1(a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。

作业：第6页，习题1.1，2．写出四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中同时包含12a 和31a 的项。

解 4431231244312312244312312)2314()1()1(a a a a a a a a a a a a =-=-τ和4331241243312412343312412)2413()1()1(a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。

3． 在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取_______ ___。

分析 54433125122543543112a a a a a a a a a a =，所以，1)1()1(4)25134(=-=-τ。

4． 已知xx x x x x f 42124011123313)(--=，则)(x f 中4x 的系数为 ____。

分析 含4x 的项为4144322311)1324(2)2()()1()1(x x x x x a a a a =⋅⋅⋅--=-τ。

所以，4x 的系数为2。

5． 行列式=600300301395200199204100103__________。

分析 031521413100100030015200141003260030030139520019920410010322321--→----c c c c c20005548)1(11000155148310031312=---⨯⨯=----+c c 。

二、计算下列各题：1．计算63123112115234231----=D 。

解2170555011704231223141312------+--r r r r r r D 2175551217555117)1(13111---+------⨯=+r r301755)1(131-=---⨯=+。

2. 设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值。

解 将D 按第4行展开： 444342414321A A A A D +++=。

将D 的第4行元素分别换为1，1，1，1，则44434241A A A A +++01111630211118751==. 解法二 0444342414424432342224121=+++=+++A A A A A a A a A a A a 。

作业，第20页，习题1.32．已知pc b a p c b a p c b a p c b a D 4443332221114=，求.41312111A A A A +++解 将4D 按第1列展开：.4143132121114A a A a A a A a D +++=将4D 的第1列的元素分别换成1，1，1，1，则.011114433221141312111==+++pc b p c b pc b p c b A A A A3. 计算4443332225432543254325432=D 。

解 3333222211114321543154315431111154325432⨯⨯⨯→→→→c c c c D（由范德蒙行列式） 5760453534151413120=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=）（）（）（）（）（）（.作业，第20页，习题1.31（6）3333222243244433322243214321432111114324324321432143214321⨯⨯→→→=c c c D （由范德蒙行列式） .28834242314131224=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=）（）（）（）（）（）（4. 计算ab b a a b a b a D n 0000000000000000=解 将行列式按第1列展开：11111000000000)1(0000000000)1(-+-+-⨯+-⨯=n n n n b a b b ab b a b a a b aa Dn n n n n n b a b b a a 1111)1()1(+-+--+=⨯-⨯+⨯=。

作业，第13页，习题1.28．ba a a a a a nn2121100010001 2222121*********00010001nnnn n a a a b a a a r a r a r a r --------+.22221n a a a b ----=5．计算1111121111211112---=λλλn D 。

解111312131123111321-+--+--+-++++n n n n c c c D n n λλλλλλ303000030111311312----+---λλλλn r r r r r r n 1)3(]3[--⋅-+=n n λλ.作业，第12页，习题1.22．.11100001000010333112331132311332113331123333233332333321413124321-=------+++rr r r r r c c c c 6．.6133303330010000243333333001000024333333333233331343231=-------c c r r r r 第19页，习题1.3，1（3）λλλλλλλλλλλ11111111111111111111111114321----------+++--------c c c c100212221)1)(1(100021202210111111141312--+-+--=--+-+------+λλλλλλλλr r r r r r]4)1[()1(1221)1()1(22332-+-=++--=+λλλλλ ).3()1()32()1(322+-=-+-=λλλλλ6.设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。