第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλ2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
⑵ 五阶行列式=6200357020381002300031000___________。
⑶ 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。
⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=132213321x x x x x x x x x __。
三 计算行列式 (每小题6分，共30分)⑴ 0112210321011322211313211----- ⑵()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a⑶yy x x-+-+1111111111111111 ⑷ac ba c ba c ba cb a ⑸ xb b b a x b b aa xb aa a x D n =(a ≠b )四 证明题 (每小题10分，共20分)⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n⑵ 设平面上三条不同的直线为 000=++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ，证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a五 解答题 (5分)λ 和μ 取何值时，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？参考答案一、选择题⑴ (D) ⑵ (A) ⑶ (C) ⑷ (A) ⑸ (D) ⑹ (D) ⑺ (C) ⑻ (B) ⑼ (B)； ⑽ (D) 二、填空题 ⑴ “-”调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列5341352412a a a a a ，此时列标排列的逆序数为t (24513)=5，故该项带负号。
⑵ 42 423212331)1(620035702038100230003100032=⨯⨯-=⨯⑶ -150用5, 1, 0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---⑷ a =0, b =00)(1010022=+-=--=---b a ab ba ab b a a =0, b =0⑸ 0由题意知()()()0321=---x x x x x x k ，其中x 3的系数为k ，x 2的系数为)(321x x x k ++-，与原方程比较，得k =1，x 1+x 2+x 3=0。
将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得0111)(132213321132213321=++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、计算题⑴ 011221032101132275103110201122103210113222113132114241--------------r r r r051132275131101122113227513110)1(53454-------+--------+r r 列展开按第5130271310521122713105423---⨯------⨯-r r 行展开按第1705133151-=--⨯列展开按第⑵ ()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 5232125232125232125232122222122334++++++++++++---d d d dc c c c b b b b a a a a c c c c c c 0221222122212221222222334=++++--d d c c b b a a c c c c ⑶y y x x-+-+1111111111111111yy y x x xr r r r ----1111001111004321yx xy--11111100111100113,1行提取公因子第2214110110011110011y x yx xy r r =---⑷ 对n 阶行列式acba cba cb a按第一行展开，得递推公式 11---=n n n bcD aD D于是有 abc a abc bc a a bcD aD D 2)(32123-=--=-= 2224232343)()2(c b bc a a bc a bc abc a a bcD aD D +-=---=-= 223534534c ab bc a a bcD aD D +-=-=⑸ x b b b a x b b aa x ba a a x D n =)(000a x a b b b a x b b a ax ba a a x -++++=)(000a x b b b x b b ax ba a x ab b b a x b b aa x ba a a x -+=1)(1111--+=n D a x b b b x b b a x b a a x a1)(1111)1,,2,1(--+-------=-n n i D a x b x b a b x b a b a b x an i bc c得递推公式11)()(---+-=n n n D a x b x a D ① D n 的转置行列式相当于将a ,b 互换，于是有11)()(---+-=n n n D b x a x b D ②因为a ≠b ，①⨯(x -b )-②⨯(x -a )，得()()ba a xb b x a D nn n ----=四、证明题⑴ 设n 元排列为i 1i 2…i n 。
当n =2时，最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。
假设结论对n -1元排列成立，下面证明对n 元排列也成立 ① 若元素i n =n 。
根据归纳法假设，i 1i 2…i n -1可经过不超过n -1次对换变成12… (n -1)，亦即i 1i 2…i n -1i n 可经过不超过n -1次对换(<n 次)变成12…n ② 若元素i n ≠n 。
不妨设i k =n ，只需对换元素i k 和i n ，即得第①种情形，故i 1i 2…i n 可经过不超过n 次对换变成12…n ⑵ 必要性设三条直线交于一点(x 0,y 0)，则x =x 0，y =y 0，z ＝1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000bz ay cx az cy bx cz by ax 故系数行列式0==ba c a cb cb a D 即))((222ca bc ab c b a c b a D ---++++-= ])()()[()(21222a c c b b a c b a -+-+-⋅++-=0=由于三条直线不同，因此，a ,b ,c 不能全部相等，故0=++c b a 。
充分性已知0=++c b a ，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+b ay cx a cy bx c by ax ① 将前两个方程相加，有)()()(a c y c b x b a +-=+++由于0=++c b a ，得b ay cx -=--，即第三个方程。
因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程)，去掉第三个方程，方程组①变为⎩⎨⎧-=+-=+a cy bx cby ax ② 其系数行列式22)(c a ac b ac cb ba D +-=-==])([21)(22222c a c a ac c a -++-=-+-=显然D ≠0 [否则，a =c =0，并由此得b =- (a +c )=0，这与0=++c by ax 是直线方程矛盾]因此，方程组②亦即方程组①有唯一解，三条直线交于一点。