数理统计学课后答案【篇一：数理统计习题】为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体。

1. 2 设随机样本（x1,x2,?,xn）来自总体为正态分布（x1,x2,?,xn）的联合分布函数为f(x1,x2,?,xn)?(2??)*2?n2n(?,?2)，则样本exp{?12?2?(xi?1n2i??)}。

1.3 若对一批n件产品的合格率进行检查，从中有放回地随机抽取n件。

分别以0，1表示某件产品为次品和合格品，?(0??的0—1分布，即?1)表示产品的合格率，则总体x服从参数为?p(x?x)??x(1??)1?x,x?0,1。

所以样本（x1,x2,?,xn）的联合分布律数为p(x1?x1,x2?x2,?,xn?xn)???i?1nxi(1??)1?xi,xi?0,1.21.4 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?数，则(x1?x2?x3)??，)，其中?,?2是未知参11(x1?x2)??和(x1?x2?x3)都不是统计量，2?11222因为它们都含有未知参数，而(x1?x2?x3)(x1?x2?x3)和x1?x2?x3 32都是统计量。

1.5 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?知参数，则213)，其中?已知，?2是未12(x12?x22111(x1?x2?x3)??，(x1?x2)??(x1?x2?x3)和32312?x3)都是统计量，而(x1?x2?x3)不都是统计量。

?1．6 设x1,x2,?,xn是来自总体x的一个样本，则称统计量121ns?(xi?)2 ?nx??xi，ni?1ni?1n分别为样本的均值和样本方差；统计量1nk1nak??xi，bk??(xi?x)kni?1ni?1分别为样本k 阶原点矩和k 阶中心矩。

2显然，a1?x， b2?sn。

1．7 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?任意一个确定线性函数2)的一个样本，统计量是样本的u?a1x1?a2x2???anxn，则统计量u?a1x1?a2x2???anxn也是服从正态分布的随机变量，其均值和方差分别为e(u)??(a1?a2???an)???ai?1ni，nd(u)??(a1?a2???an)??特别地，取a1?a2???an?22222?ai?12i。

1，则统计量u是样本的均值x，有下面的推论。

n21.8 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?)的一个样本，则样本的均值?2)。

（2 x~n(?,n1.9 设（x1,x2,?,x25）是来自正态总体n(2,5)的一个样本，求统计量x的密度函数。

解由推论知52x~n(2,)?n(2,1)，25则x的密度函数为fx(x1,x2,?,x25)?1exp[?(x?2)2]。

22?11．10 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?数，求统计量t?的分布。

解作变换yi?2)的一个样本，且?是已知常?(xi?1ni??)2xi???,i?1,2,?,n，则y1,y2,?,yn相互独立，且同服从n(0,1)分布，所以2t?2??(i?1nxi???)??yi22i?1n服从?分布。

从而统计量t的密度函数为1.11 ①如果f~f(m,n)，则②x1~f(n,m)。

f与y独立，则f~?2(1), y~?2(n),x?t2，即f(1,n)与t2(n)相同。

21.12 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?)的一个样本，x??1nx??xi，则u?~n(0,1)。

ni?1?/n证明因为x1,x2,?,xn相互独立，与总体服从同一分布n(?,? 2)，即xi~n(?,?21n)，由正态分布的加性定理知x??xi服从正态分布。

又因为 ni?11n1ne(x)?e?xi}??e(xi)??，ni?1ni?11n1d(x)?d?xi}?2ni?1n所以?d(x)?ii?1n?2n，x~n(?,?2n)。

再由正态分布的性质知 u?x???/n~n(0,1)。

1.13 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?2)的一个样本，则1?2?(xi?1ni??)2~?2(n)。

2证明因为x1,x2,?,xn相互独立，与总体服从同一分布n(?,? )，即xi~n(?,?2)，于是xi???~n(0,1),(i?1,2,?,n)。

再由?2的定义，则1?2?(xi?1ni??)2~?2(n)。

21．14 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?)的一个样本，则t?x??sn/n?1x??~t(n?1)。

nsn2证明由定理2.2知，2?/n~n(0,1)，由定理2.10知，?2~?2(n?1)，且x???/n与nsn?2相互独立。

由t分布的定义，则2nsn?/~t(n?1)。

t?2sn/n?1?/n(n?1)?x??x??1.15 设（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体2n(?1,?1)2的一个样本，和n(?2,?2)的一个样本，且x1,x2,?,xmy1,y2,?,yn相互独立，则(x?y)?(?1??2)?21m??22~n(0,1)。

n证明因为（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体2?2n(?1,?1)2的一个样本，n(?2,?2)的一个样本，所以x~n(?1,2?12m)，y~n(?2,性定理知n)。

又因为x1,x2,?,xm和y1,y2,?,yn相互独立，再由正态分布的可加x?y~n(?1??2,从而?12m?2?2n)，(x?y)?(?1??2)?21m??22~n(0,1)。

n1.16 设（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体n(?1,?2)的一个样本，和n(?2,?2)的一个样本，且x1,x2,?,xmy1,y2,?,yn相互独立，则t?(x?y)?(?1??2)mn(m?n?2)~t(m?n?2)。

22m?nms1?ns21m1n1n1m222其中s??(xi?x)，x??xi；s2??(yi?y)，y??yi。

mi?1ni?1ni?1mi?121证明由定理2.10知，ms12?22~?(m?1)，2ns22?2~?2(n?1)，又x1,x2,?,xm和y1,y2,?,yn相互独立，由?的加法定理可得【篇二：数理统计习题】、填空题（本题15分，每题3分）1、总体x~n(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差?~________；22、设x1,x2,...,x16为取自总体x~n(0,0.52)的一个样本，若已知?0.01(16)?32.0,则p{?xi2?8}=________；i?1163、设总体x~n(?,?2)，若?和?2均未知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为1??的置信区间为(x??,x??)，则?的值为________；4、设x1,x2,...,xn为取自总体x~n(?,?2)的一个样本，对于给定的显著性水平?，已知关于?2检验的拒绝域为?2≤?12??(n?1)，则相应的备择假设h1为________；?2已知，5、设总体x~n(?,?2)，在显著性水平0.05下，检验假设h0:???0,h1:???0，拒绝域是________。

1、n(0)；2、0.01；3、t?(n?1)212sn2； 4、?2??0； 5、z??z0.05。

二、选择题（本题15分，每题3分）1、设x1,x2,x3是取自总体x的一个样本，?是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

13（a）?(x1?x2?x3) （b）x1?x2?x3 （c）x1x2x3（d）?(xi??)23i?1?2、设x1,x2,.,2?xn为取自总体x~n(?,?)的样本，x为样本均值，sn121n(xi?)2，?ni?1则服从自由度为n?1的t分布的统计量为（）。

（a）n?1(x??）n(x??）n(x??)n?1(x??)（b）（c）（d）??snsn221n(xi?x)2, 3、设x1,x2,?,xn是来自总体的样本，d(x)??存在，s??n?1i?1则（）。

（a）s2是?2的矩估计（b）s2是?2的极大似然估计（c）s2是?2的无偏估计和相合估计（d）s2作为?2的估计其优良性与分布有关224、设总体x~n(?1,?1),y~n(?2,?2)相互独立，样本容量分别为n1,n2，样本方差分别2222为s12,s2，在显著性水平?下，检验h0:?1的拒绝域为（）。

??2,h1:?12??2（a）2s2s122s2?f?(n2?1,n1?1)（b）2s2s122s2?f1??2(n2?1,n1?1)（c）s12?f?(n1?1,n2?1)（d）s12?f1??2(n1?1,n2?1)5、设总体x~n(?,?2)，?2已知，?未知，x1,x2,?,xn是来自总体的样本观察值，已知?的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平??0.05时，检验假设h0:??5.0,h1:??5.0的结果是（）。

（a）不能确定（b）接受h0（c）拒绝h0 （d）条件不足无法检验 1、b； 2、d； 3、c； 4、a； 5、b.?2x0?x???,三、（本题14分）设随机变量x的概率密度为：f(x)???2，其中未知其他??0,参数??0，x1,?,xn是来自x的样本，求（1）?的矩估计；（2）?的极大似然估计。

解：(1) e(x)????xf(x)dx??0???2x2x??，3?22???)???，得?令e(x(2)似然函数为：l(xi,?)??i?1n233为参数?的矩估计量。

2?2n2xi?2?2n0?xi??,(i?1,2,?,n)， ?xi，i?1n??max{x,x,?,x}。

而l(?)是?的单调减少函数，所以?的极大似然估计量为? 12n四、（本题14分）设总体x~n(0,?2)，且x1,x2?x10是样本观察值，样本方差s2?2，（1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知y?2x2?2?x2??~?(1)，求d???3?的置信??222水平为0.95的置信区间；（?0。

.975(9)?2.70，?0.025(9)?19.023）解：?1818??，即为（0.9462，6.6667）（1）?2的置信水平为0.95的置信区间为?2； ,2???(9)?(9)0.975?0.025??x2?1?x2?122?=???（2）d?； dd[?(1)]?2??3??2??2??2??????22??x2?22??， ??由于d?是的单调减少函数，置信区间为?,??3??2?22?????即为（0.3000，2.1137）。