高中数学必修3和必修5综合检测试卷总分共150分，时间120分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ） A ．21B ．23 C.1D.33.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1014.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ）A ．5B ．4C ．8D ．65.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 6.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a <∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是（ ）A.5B.10C.20D.509.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.在ABC ∆中，045,3B c b ===，那么A ＝_____________;0.0400.025 0.020 0.01012.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则 此数列的通项公式为________13.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的 分组区间为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是 ． 13．有一个简单的随机样本：10, 12, 9, 14, 13，则样本平均数x =______ ，样本方差2s =______ 。

14.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________三、解答题 (本大题共6个小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分) 已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和. 17.（12分） 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

（1）将y 表示为x 的函数：（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

18．(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程22320x x -+=的两个根， 且2()1coc A B +=。

求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。

19．(13分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，(1) 求a 的值；(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.20．（14分）如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为︒152的方向航行．为了确定船位，在B 点处 观测到灯塔A 的方位角为︒122．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为︒32．求此时货轮与灯塔之间的距离．21.（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1nn na b n N a +=∈-。

（I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；ACB北 北152o32 o122o（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；（III ）记*221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32n T <；高中数学必修3和必修5综合检测试卷参考答案一．选择题。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B CAC CD A二．填空题。

11． 15o 或 75o 12．n a =2n －3 13．1{2}3x x -<< 14．11.6 15.n a =2n三．解答题。

15.解：设公比为q ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3分 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ 45)1(①10)1(23121ΛΛΛΛΛq q a q a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分 ②÷①得 21,813==q q 即 ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7分 将21=q 代入①得 81=a ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8分 1)21(83314=⨯==∴q a a ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分16. 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则2y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a -360 由已知xa=360,得a=x360, 所以y=225x+)0(3603602φx x-(II)108003602252360225,022=⨯≥+∴xx x φΘ ②104403603602252≥-+=∴xx y .当且仅当225x=x 2360时，等号成立.即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.17． 解：（1）()[]()21cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120°┄┄┄5分 （2）由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分︒-+=•-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()102322222=-=-+=++=ab b a ab b a ┄13分 10=∴AB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 18．（1）依题意，可知方程2520ax x +-=的两个实数根为12和2，┄┄┄┄┄┄2分 由韦达定理得：12+2=5a - ┄4分解得：a =－2 ┄6分（2）1{3}2x x -<< ┄┄┄12分19．在△AB C 中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o－60o＝90o， ┄┄┄5分 BC ＝235， ┄┄7分 ∴AC＝235sin30o＝435． ┄┄13分答：船与灯塔间的距离为435n mile ．┄┄┄14分20．【解析】（I ）当1=n 时，111151,4=+∴=-a S a又1151,51++=+=+Q n n n n a S a S11115,4即+++∴-==-n n n n n a a a a a ∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列，∴1()4=-n n a ，*14()4()11()4+-=∈--nn n b n N …………………………3分 （II ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

证明：由（I ）知14()5441(4)11()4+-==+----nnn n b212212555201516408888.(4)1(4)1161164(161)(164)--⨯-+=++=+-=-<-----+-+Q k k k k k k k k kb b ∴当n 为偶数时，设2()n m m N *=∈∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++++<=L 当n 为奇数时，设21()n m m N *=-∈∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=+++++++<-+=-=L ∴对于一切的正整数n ，都有4n R k<∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

…………………………………8分 （III ）由54(4)1n n b =+--得2122212255151615161516154141(161)(164)(16)3164(16)16n n n n n n n n n n n n n nc b b --⨯⨯⨯=+=+==<=-+-++⨯-又1221343,,33b bc ==∴=，当1=n 时，132T <， 当2n ≥时，2223211[1()]41114161625()2513161616311614693162513482116n n n T --<+⨯+++=+⨯-<+⨯=<-L………………………14分。