• 频域(frequency domain)是描述信号在频率方面 特性时用到的一种坐标系。
• 用线性代数的语言就是装着正弦函数的空间。
• 频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一 个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学 范畴。
• 正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中 最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因 为时域中的任何波形都可用正弦波合成 。
(f(3)
u=1时,
f(0)
3
F(1)41 f(x)ejπ/2x 41[1 x0
j
1 j]ff((12))0
(f(3)
u=2时,
f(0) F(2)14x 30f(x)ejππ14[1 1 1 1]ff((12))1/2
1 1
=Af(x)
1
j
1

j0
2.二维离散函数的傅立叶变换 在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为
M 1N1
F(u，v)=
1 MN
f(x,y)ej2(u/xM v/yN) (3.2—20)
x0y0
式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。
(f(3)
u=3时,
f(0)
F(3)1 4 3 f(x)ej3πx/21 4[1
x0
j
1 j]f(1)0 f(2)

(f(3)
在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为
1 1 1 1 1
F(u)=
1 1 4 1
j 1
1 1
j

0
图像的傅立叶变换
• 灰度在平面空间上的梯度表征图像中灰 度变化剧烈程度，可以描述为图像的频 率。
• 如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度 变化缓慢的区域，对应的频率值很低；
• 而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在 图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对 应的频率值较高。
图像的傅立叶变换
• 对图像进行二维傅立叶变换得到频 谱图，就是图像梯度的分布图。
• 如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是 比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯 度相对较小）；
• 如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定 是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大 的。
22
图像的傅立叶变换
• 从物理效果看，傅立叶变换是将图像从 空间域转换到频率域，其逆变换是将图 像从频率域转换到空间域。
例如 数字图像的傅立叶变换
原图
离散傅立叶变换后的频域图
3.2.3二维离散傅立叶变换的若干性质
离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转
换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其
转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性
质。
1．周期性和共轭对称性
若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有
F ( x ,v ) 1 N 1 f( x ,y )e x j2 v p /N y ] [ v 0 ， 1 ， .， .N . 1 ( 3 .2 2 )9 N y 0
F ( u ,v ) 1 N 1 F ( x ,v ) e x j 2 u p /N ] x [ u ,v 0 , 1 ,. N .1 .（ ,3 . 2 3 ） 0 N x 0
• 大自然界的很多系统，一个正弦曲线信号输入 后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可 能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。 也就是说正弦信号是系统的特征向量！
• 分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的 是为了更加简单地处理原来的信号。这样，用 正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦 拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。 且只有正弦曲线才拥有这样的性质。
• 换句话说，傅立叶变换的物理意义是将 图像的灰度分布函数变换为图像的频率 分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频 率分布函数变换为灰度分布函数。
3.2傅立叶变换
在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在[T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2] 可以展成傅立叶级数
(3.2—16)
即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…
，f[x0+(N-1)△x]}。
被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为
N1
F(u)=
1 N
f (x)ej2ux/ N
x0
式中u=0，1，2，…，N﹣1。反变换为
N1
f(x)=
F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N) （3.2-26)
傅立叶变换存在共轭对称性
F(u，v)=F*(-u，-v)
(3.2—27)
这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来
很大益处。
2.分离性 一个二维傅立叶变换可由连续两次一维傅立叶变换来实现。
例如式(3.2-14)可分成下面两式:
式（3.2-1）和（3.2-2）称为傅立叶变换对。
这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函 数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如
下： 实 R ( u ) 部 f ( x ) c 2 u o ) d x s x 3 . 2 ( 3 虚 I ( u ) 部 f ( x ) s2 i u ) d n x x (( 3 . 2 4 )
( 3 .2 7 )
( 3 . 2 8 )
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。
2. 二维连续函数的傅立叶变换
傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连 续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为
F(u,v) f(x,y)ej2(u xv)yd xd y
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以 频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
各 波 在 频 域 的 样 子
矩形波在频域的样子
矩形波在频率域的样子
信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提 供比时域信号波形更直观，丰富的信息。
幅值
时域分析
频域分析
为什么偏偏选择三角函数而不用 其他函数进行分解？
• 傅里叶频谱图上我们看到的明暗不 一的亮点，是图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也 即该点的频率的大小（图像中的低 频部分指低梯度的点，高频部分相 反）。
图像的傅立叶变换
• 梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 • 通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，
首先就可以看出，图像的能量分布：
F(u)e j2ux/ N
x0
式中x=0，1，2，…，N-1。
例如：对一维信号f(x)=[1 0 1 0]进行傅立叶变换。
由
F(u)N 1N 1f(x)ej2ux /N
x0
Байду номын сангаас
得 u=0时，
f(0) F(0)14x 30f(x)e2π0x/414x 30f(x)14[1111]ff((12))1/2
第三章 图像变换
讲解内容
1. 图像变换的目的、要求和应用 2. 傅立叶级数、 频谱分析概念及其意义 3.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、 性质及其应用
目的
1. 熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；
2. 掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法
• 从感性理解傅立叶变换，一幅数字图像里面包 含有各种信号，有变化缓慢的背景，有变换激 烈的边缘和噪声部分，而傅立叶变换就像光学 中的三棱镜，在三棱镜的作用下，一束自然光 光信号可以分为无数的单色光信号，单色光信 号从频谱中心开心频率逐渐增加，那么一幅图 像经过一个类似三棱镜的系统（傅里叶变换） 就把源图像中的信号给分开了，这样我们就可 以做各种处理就更为方便。
对：
fr , F ,
第三章 图像变换
图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；② 有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信 息的理解。
图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： ① 正交变换必须是可逆的； ②正变换和反变换的算法不能 太复杂； ③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集 中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率 成分上，有利于图像处理。
因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特 征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。
在此讨论常用的傅立叶变换 。
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以 如此方法用正弦波叠加起来的。
第一幅图是一个余弦波 cos（x）； 第二幅图是 2 个余弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)； 第三幅图是 4 个余弦波的叠加； 第四幅图是 10 个余弦波的叠加； 随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形， 大家从中体会到了什么道理？
1
振F 幅 ( u ) [ R 2 ( u ) I2 ( u )2]
( 3 .2 5 )
能 E ( u ) 量 F ( u ) 2 R 2 ( u ) I 2 ( u )
( 3 .2 6 )
相位 ( u ) t a 1 [I ( u n )] R ( u )
e j 2 u c x2 u o j s x s 2 u in x
fT(t)a 2 0n 1(anco nsw b n tsin nw ) t
其复数形式为
其中
cn
1 T
T 2
T 2
fT(t)ejnw dt t
可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成 及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。
3.2.1 连续函数的傅立叶变换