中南大学专业硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）
考试日期：2014年 月 日 时间100分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
（1）如果71
12232
61,3531133
4
4Ax b A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
， A ∞= ，利用Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组是否收敛 ；
（2）利用迭代法求解非线性方程2()30x f x x e =+=的根，取初值00.5x =-。

给出一个根的存在
区间 ，在该区间上收敛的迭代函数为 ；
（3）在一元线性回归模型中，试写出三个影响预测精度的主要因素 ； （4）已知)(x f y =通过点(,),0,1,2,
,i i x y i n =，则)(x f 的三次样条插值函数)(x S 在每个小区间
],[1i i x x -上是次数不超过 次的多项式函数，在整个区间上二阶导函数连续且满足插值条件；
（5）已知)(x f y =通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其Lagrange 插值基函数=)(3x l ；
（6）总体1210~(3,4),(,,
,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X .，
（7）算法2
121212),(x x x x x f y +==，已知1x 和2x 的绝对误差分别为)(1x ε和)(2x ε，则
=)(y ε ；
（8）已知)(x f y =通过点3,2,1,0),,(=i y x i i ，则其Lagrange 插值基函数=)(1x l 。

二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下
选用适当的方法求三次插值多项式，以计算)5.0(-f 的近似值，给出相应的误差估计。

三、（本题16分）已知某工厂计划生产I ，II ，III 三种产品，各产品需要在A ，B ，C 设备上加工，有关数据见下表。

（1）如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大？建立数学模型； （2）利用单纯形法求解所建立的模型（要求计算过程和结果）； （3）写出所建立数学模型的对偶形式。

四、（本题12分）设方程组为 1234102030
101212431001034x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（1）利用雅可比（Jacibi ）迭代格式进行迭代计算求近似解， 取初始值0(0.00,0.00,0.00,0.00)T X = ,保留2位小数，迭代2次；
（2）利用矩阵LU 直接分解方法求准确解。

五、（本题14分）某种食品在处理前后含脂率样本数据如下： 处理前： 0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.27
处理后： 0.15 0.13 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12
假定处理前后的含脂率均服从正态分布,（1）试问处理前后的含脂率的方差没有显著变化)05.0(=α
（2）求处理前后的含脂率的均值差的95%的置信区间； 六、（本题10分）定积分
⎰
b
a
dx x f )(在将区间],[b a 逐次分半的过程中用复合梯形公式计算的近似值如下：
请根据表中数据计算
⎰
b
a
dx x f )(精度足够高的近似值。

七、（本题12分）为了比较3种松树在4个不同的地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选取5株，测量它们的胸径，得到了如下的数据
（2）树种和地区对树的胸径有无显著影响，取。