1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。

2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x=-。

3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。

4．11dx =⎰。

5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。

6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭=4π。

二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。

A ．可去间断点B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点D ．连续点 2. 设()232x x f x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是B 。

A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )( 3.1+∞=⎰C 。

A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是A 。

A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为D 。

A ．1B ．2C ．3D ．46.当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？A 。

A ．32a =-，92b = B.32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D.32a =，92b = 7.曲线2xy x -=⋅的凸区间为D 。

A.2(,)-∞- B.2(,)2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2-∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第6~7题每小题8分，共46分）1. 21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭解：()21cos lim ,1t t t xt →==原式令)0(cos ln lim20型t t t e →=（3分）tt t t e cos 2sin lim⋅-→=12e-=（6分）2.222,arctan )1ln()(dx yd tt y t x x y y 求确定所由参数方程设函数⎩⎨⎧-=+==。

解：)]1[ln()arctan (2t d t t d dx dy +-=2212111t t t ++-=2t =，（3分）22dx y d dx dx dy d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dtdx dt t d 1)2(⋅=212121t t +⋅=tt 412+=．（6分）3.2(1)xx xe dx e +⎰． 解：=原式1()1x x d e -+⎰（2分） =111x x x dx e e -+++⎰ =11()11x x x x x de e e e -+-++⎰ =ln 11xx x x e C e e -++++（6分） 4.求⎰(0)t t =≥，则22x t dx tdt ==， （2分）242220000221222(1)1112[ln 1]2ln32t t tdt dt t dt t t t t t t ===-++++=-++=⎰⎰⎰⎰（6分） 5. 设曲线()n f x x =在(1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(,0)n x ，求n n n x )(lim ∞→。

解：11(1)n x f nx n -='==，所以()f x 在点(1,1)处的切线方程为：(1)1y n x =-+…….. (*)(2)分由题意知切线(*)与x 轴的交点为(,0)n x ，即n x x n nn 111)1(0-=⇒+-=(5)分 从而可得：n n n n n nx )11(lim )(lim -=∞→∞→＝1-e ．(6)分 6. 设连续函数)(x f 满足x x f x f 2sin )()(=-+，求积分222()sin I f x x dx ππ-=⎰．解：方程两端同乘2sin x 并从2π-积分到2π，得：222222222444()sin ()sin sin 2sin 2(*)f x xdx f x xdxxdx xdx I πππππππ---+-===⎰⎰⎰⎰)3(分222()sin f x xdx t xππ--=-⎰又令222222()sin ()()()sin f t t dt f t tdt ππππ----=⎰⎰（5分）由(*)得：22241()sin 22I f x xdx I ππ-==⨯⎰13122422π=⨯⨯⨯⨯316π=．(8)分 7.设()f x 连续，1()()F x f t x dt =⎰，且0()lim x f x A x→=（A 为常数），求()dF x x 。

解：由A xx f x =→)(lim0知：(0)0f =。

u t x =令，⎩⎨⎧→→xu t 0:10:则，x du dt xdt du =⇒= ⎰⎰⇒=x xdu u f dt tx f x F 01)()()(于是)0()(1≠=⎰x du u f x x可见：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0,00,)(1)(0x x du u f x x F x(4)分 时当0≠x ，22)()()(1)(1)(x du u f x xf x f x du u f xx F xx ⎰⎰-=+-='；)6(分时当0=x ，0()(0)(0)lim x F x F F x∆→∆-'=∆2001()0lim ()lim()()1lim ,22x x x x x f u du xxf u dux f x A x ∆∆→∆∆→∆→-∆=∆=∆∆==∆⎰⎰所以：02()(),0(),02x xf x f u dux x F x Ax ⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．)8(分四、应用题（共1小题，每小题9分，共9分）设直线y a x =)10(<<a 与抛物线2x y =所围成的图形为1D ，它们与直线1=x 所围成的图形为2D ，若1D 、2D 同时绕x 轴旋转一周得到一旋转体，试确定a 的值，使该旋转体的体积最小．解：∵⎩⎨⎧≤≤≤≤axy x ax 20:1D ， ⎩⎨⎧≤≤≤≤21:x y ax x a 2D []⎰-=a dx x ax 0222)()(π1V ()⎰-=adx x x a 0422π []⎰-=1222)()(adx ax x π2V ()⎰-=1224adx x a x π∴()()⎰⎰-+-=+=12240422aadx x a x dx x x a a ππ21)(V V V132505323553aa x a x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ5315425πππ+-=a a ……………..(5)分 由da a )(dV a a 32344ππ-=，令0a da=dV ()得：321=a ．………….(7)分又由 2a a da2d V ()3162161260333233a a πππππ⎛⎫=-=⋅-=> ⎪⎝⎭ 可见： 当321=a 时， 该旋转体的体积最小． ………………..(9)分五、证明题（共1小题，每小题6分，共6分）设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()0f x '≠，试证存在),(,b a ∈ηξ，使得()()b af e e e f b aηξη-'-=⋅'-证明：设()xg x e =，则()()()()()()f b f a f g b g a g ηη'-='-，即()()()b af b f a f e e eηη'-=-. ………………..（3分） 又因为存在(,)a b ξ∈,使得()()()(),f b f a b a f ξ'-=-……………………..（4分）所以 ()()()b ab a f f e e eηξη''-=-，即结论成立.………………..（6分）。